La successione Sin(n)

[olanda2000]

E' oscillante (non regolare), va bene. Ma come mai l'insieme {sin n, n∈N} non è discreto,ma è addirittura denso in [−1,1] ?
Supponiamo che l'argomento n siano gradi ,non dovremmo avere solo 360 immagini distinte? Quindi 360 punti limite per la successione? Ho cercato di leggere una dimostrazione, ma tira in ballo ovviamente sin x , con x reale ! Grazie, allora sì che i punti di accumulazione diventano infiniti e non solo 360 nell'intervallo [−1,1].
C'è una spiegazione più intuitiva?

Grazie

[feddy]

Non basterebbe usare la definizione? Se $A={sin(n), n \in \mathbb{N} }$, allora $bar(A)=[-1,1]$

[killing_buddha]

"olanda2000":E' oscillante (non regolare), va bene. Ma come mai l'insieme {sin n, n∈N} non è discreto,ma è addirittura denso in [−1,1] ?
Supponiamo che l'argomento n siano gradi ,non dovremmo avere solo 360 immagini distinte? Quindi 360 punti limite per la successione? Ho cercato di leggere una dimostrazione, ma tira in ballo ovviamente sin x , con x reale ! Grazie, allora sì che i punti di accumulazione diventano infiniti e non solo 360 nell'intervallo [−1,1].
C'è una spiegazione più intuitiva?

Grazie

E i minuti di grado? E i secondi? E i femtosecondi di grado dove li metti?
E quale subumano misura gli angoli in gradi e non in radianti?

No, il punto è proprio che dato un qualsiasi numero reale \(\theta\in[-1,1]\), e detto \(U = \{\sin n\mid n\in \mathbb N\}\), per ogni $\epsilon > 0$ esiste un $n_\epsilon$ tale per cui $|\sin n_\epsilon - \theta| < \epsilon$. Tuttavia forse ci sono dei modi equivalenti di rifrasare la densità che ti sono più utili in questo frangente. Per esempio puoi vedere qui click.

[gugo82]

"olanda2000":C'è una spiegazione più intuitiva?

Beh, semplicemente la funzione seno ha argomento espresso sempre e solo in radianti (cioè accetta come argomenti solo numeri puri o, come direbbero i fisici, quantità adimensionali): ciò non ti consente di dire che $sin n$ è una successione periodica di periodo $360$ e dunque sei fregato.

Un'analisi del comportamento di tale successione la trovi anche sull'eserciziario di Marcellini & Sbordone.

[olanda2000]

Ecco, a questo non avevo pensato, l'argomento n può essere anche minuti, secondi...etc... e questo spiega che l'insieme delle immagini è infinito e non finito.

[olanda2000]

sempre e solo in radianti (cioè accetta come argomenti
scusa,ma usare i radianti o i gradi mica cambia le proprietà della funzione seno!!!
Infatti se penso l'argomento "n" espresso in radianti interi, il mio dubbio rimarrebbe tale e quale. Devo pensare ai sottomultipli del radiante etc...che sono infiniti , per cui adesso ho capito. Grazie

[killing_buddha]

E' che i gradi non esistono, sono un figmento di cattiva didattica medievale. Esistono (per quanto anche questa affermazione sia azzardata) i numeri reali.

[gugo82]

"olanda2000":scusa,ma usare i radianti o i gradi mica cambia le proprietà della funzione seno!!!

Certo che le cambia!

Ad esempio, se esprimi l'argomento del seno in gradi, il limite notevole:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} =1
\]
non è più valido.

"olanda2000":Infatti se penso l'argomento "n" espresso in radianti interi, il mio dubbio rimarrebbe tale e quale. Devo pensare ai sottomultipli del radiante etc...che sono infiniti , per cui adesso ho capito. Grazie

Il fatto che i sottomultipli del radiante siano infiniti non c'entra nulla: infatti, anche i sottomultipli del grado sono infiniti.

Ciò che qui, in verità conta, è che grado e radiante non sono unità di misura commensurabili (passatemi l'uso di un termine così vetusto), i.e. non hanno alcun sottomultiplo comune.

[gugo82]

"killing_buddha":E quale subumano misura gli angoli in gradi e non in radianti?

"killing_buddha":E' che i gradi non esistono, sono un figmento di cattiva didattica medievale.

Un aneddoto con un po' di morale:

Ero ad una scuola sulle PDE al Centro de Giorgi, a Pisa, quando un affermatissimo analista italiano (uno con migliaia di citazioni), parlando delle varie nozioni di soluzione per una certa classe di problemi, se ne uscì con una frase del genere:

"Tali nozioni sono tra loro del tutto equivalenti, nel senso che sono tutte equivalentemente inutili";

caso volle che tra gli intervenuti ci fosse il matematico spagnolo che (se non erro) aveva inventato una delle nozioni di cui sopra e con essa aveva ottenuto molti dei risultati importanti noti allora, il quale interruppe il seminario dicendo semplicemente:

"Beh, io non sarei così netto".

Quando dalla tastiera mi sta per uscire un commento del tipo citato su, mi ricordo sempre questo fatto e cerco di scrivere meglio ciò che penso.

[killing_buddha]

Beh, $360$ è un numero con tanti divisori che approssima decentemente la durata (in giorni) di un anno solare. Avremmo potuto scegliere $720$ guadagnando $6$ divisori. Un radiante invece è una misura intrinseca per un angolo.

La scelta per misurare gli angoli in gradi è, essenzialmente, ergonomica (cioè definita dalla interazione tra forma dello strumento e forma dell'utente), mentre quella che usa i radianti, al netto di ricodificare come viene chiamato $\pi$ da una ipotetica razza aliena, è invariante se cambia la forma di vita che esprime la nozione.

O per dirla in un modo più altisonante, un grado esiste, ed è definito in quel modo, perché una determinata etnia in un determinato momento storico per ragioni tutte particolari aveva bisogno di dividere una circonferenza in parti che fossero facili da distribuire. Un radiante esiste nel momento in cui accettiamo l'esistenza dei cerchi (che è esattamente ciò che vorremmo misurare).

Also, this.

[dissonance]

"feddy":Non basterebbe usare la definizione? Se $A={sin(n), n \in \mathbb{N} }$, allora $bar(A)=[-1,1]$

E si, ma questo lo bisogna dimostrare. Questo vecchio post di Martino lo fa egregiamente.

[otta96]

La questione si farebbe più interessante se si dovesse determinare $\bar({sin(n^2)|n\inNN})$, tempo fa ero riuscito a dimostrare che quella successione non ha limite, ma penso sia difficile determinare la chiusura.

[.Ruben.17]

Penso di aver dimostrato la densitá nel post Sns 2017/2018 n.1 nella sezione "Scerveiamoci un po'"

[Sk_Anonymous]

Peraltro \( \{ \sin (2n +1) \, : \, n \in \mathbb{N} \} \) e' ancora denso in \( [-1,1]\).