La serie $ sum_(n = 1)^(oo) 1/n^(a(n)) $ converge ?
La serie $ sum_(n = 1)^(oo) 1/n^(a(n)) $ con $ a(n)>1 AA n $
A intuito la serie converge, ma è proprio così? come si può dimostrare?
A intuito la serie converge, ma è proprio così? come si può dimostrare?
Risposte
Secondo me non è detto. Se fosse $a(n)\geq \alpha>1$ la risposta sarebbe sicuramente sì, infatti si avrebbe
\[
\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n^{a(n)}}\leq \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}<+\infty.
\]
Però richiedendo solo $a(n)>1$ non ne sarei così sicuro.
\[
\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n^{a(n)}}\leq \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}<+\infty.
\]
Però richiedendo solo $a(n)>1$ non ne sarei così sicuro.
si hai proprio ragione, infatti ho visto che la successione $ 1/n^(1/n) $ converge a $ 1 $ per cui la serie associata diverge.
grazie.
grazie.
Aspetta... se poni $a(n)=1/n$, allora non è più verificata la condizione $a(n)>1$.
si, infatti hai ragione, sto facendo una confusione... quindi la questione resta ancora aperta... però mi hai dato comunque un'idea su come dimostrarlo perché nel mio caso esiste $ alpha $ tale che $ a(n) >= alpha>1 $
Ok allora converge!
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