La prova di oggi
Guardate un po' che razza di esercizio c'era,tra gli altri,nella prova in itinere di oggi.
Determinare nell'opportuno ambito la trasformata di Fourier di:$f(x)=chi_[[-pi/2,pi]](x)+|x|senx$
ove $chi_[[-pi/2,pi]](x)={(1"se"-pi/2<=x<=pi),(0"altrove"):}$
Determinare nell'opportuno ambito la trasformata di Fourier di:$f(x)=chi_[[-pi/2,pi]](x)+|x|senx$
ove $chi_[[-pi/2,pi]](x)={(1"se"-pi/2<=x<=pi),(0"altrove"):}$
Risposte
E allora?!
"Ainéias":
Guardate un po' che razza di esercizio c'era,tra gli altri,nella prova in itinere di oggi.
Determinare nell'opportuno ambito la trasformata di Fourier di:$f(x)=chi_[[-pi/2,pi]](x)+|x|senx$
ove $chi_[[-pi/2,pi]](x)={(1"se"-pi/2<=x<=pi),(0"altrove"):}$
o procedi con la definizione o sfrutti le trasformate notevoli della porta, del gradino, della traslazione in frequenza..
"nicola de rosa":
[quote="Ainéias"]Guardate un po' che razza di esercizio c'era,tra gli altri,nella prova in itinere di oggi.
Determinare nell'opportuno ambito la trasformata di Fourier di:$f(x)=chi_[[-pi/2,pi]](x)+|x|senx$
ove $chi_[[-pi/2,pi]](x)={(1"se"-pi/2<=x<=pi),(0"altrove"):}$
o procedi con la definizione o sfrutti le trasformate notevoli della porta, del gradino, della traslazione in frequenza..[/quote]
insomma...è un po' complicato...
"Ainéias":
[quote="nicola de rosa"][quote="Ainéias"]Guardate un po' che razza di esercizio c'era,tra gli altri,nella prova in itinere di oggi.
Determinare nell'opportuno ambito la trasformata di Fourier di:$f(x)=chi_[[-pi/2,pi]](x)+|x|senx$
ove $chi_[[-pi/2,pi]](x)={(1"se"-pi/2<=x<=pi),(0"altrove"):}$
o procedi con la definizione o sfrutti le trasformate notevoli della porta, del gradino, della traslazione in frequenza..[/quote]
insomma...è un po' complicato...[/quote]
supponiamo di procedere con la definizione, allora
$F(omega)=int_{-pi/2}^{pi}e^(-i*omega*x)dx-int_{-infty}^{0}xsinxe^(-i*omega*x)dx+int_{0}^{+infty}xsinxe^(-i*omega*x)dx$
"nicola de rosa":
[quote="Ainéias"][quote="nicola de rosa"][quote="Ainéias"]Guardate un po' che razza di esercizio c'era,tra gli altri,nella prova in itinere di oggi.
Determinare nell'opportuno ambito la trasformata di Fourier di:$f(x)=chi_[[-pi/2,pi]](x)+|x|senx$
ove $chi_[[-pi/2,pi]](x)={(1"se"-pi/2<=x<=pi),(0"altrove"):}$
o procedi con la definizione o sfrutti le trasformate notevoli della porta, del gradino, della traslazione in frequenza..[/quote]
insomma...è un po' complicato...[/quote]
supponiamo di procedere con la definizione, allora
$F(omega)=int_{-pi/2}^{pi}e^(-i*omega*x)dx-int_{-infty}^{0}xsinxe^(-i*omega*x)dx+int_{0}^{+infty}xsinxe^(-i*omega*x)dx$[/quote]
Tutto qua?
"Ainéias":
[quote="nicola de rosa"][quote="Ainéias"][quote="nicola de rosa"][quote="Ainéias"]Guardate un po' che razza di esercizio c'era,tra gli altri,nella prova in itinere di oggi.
Determinare nell'opportuno ambito la trasformata di Fourier di:$f(x)=chi_[[-pi/2,pi]](x)+|x|senx$
ove $chi_[[-pi/2,pi]](x)={(1"se"-pi/2<=x<=pi),(0"altrove"):}$
o procedi con la definizione o sfrutti le trasformate notevoli della porta, del gradino, della traslazione in frequenza..[/quote]
insomma...è un po' complicato...[/quote]
supponiamo di procedere con la definizione, allora
$F(omega)=int_{-pi/2}^{pi}e^(-i*omega*x)dx-int_{-infty}^{0}xsinxe^(-i*omega*x)dx+int_{0}^{+infty}xsinxe^(-i*omega*x)dx$[/quote]
Tutto qua?[/quote]
questa è la trasformata di fourier secondo definizione
"nicola de rosa":
[quote="Ainéias"][quote="nicola de rosa"][quote="Ainéias"][quote="nicola de rosa"][quote="Ainéias"]Guardate un po' che razza di esercizio c'era,tra gli altri,nella prova in itinere di oggi.
Determinare nell'opportuno ambito la trasformata di Fourier di:$f(x)=chi_[[-pi/2,pi]](x)+|x|senx$
ove $chi_[[-pi/2,pi]](x)={(1"se"-pi/2<=x<=pi),(0"altrove"):}$
o procedi con la definizione o sfrutti le trasformate notevoli della porta, del gradino, della traslazione in frequenza..[/quote]
insomma...è un po' complicato...[/quote]
supponiamo di procedere con la definizione, allora
$F(omega)=int_{-pi/2}^{pi}e^(-i*omega*x)dx-int_{-infty}^{0}xsinxe^(-i*omega*x)dx+int_{0}^{+infty}xsinxe^(-i*omega*x)dx$[/quote]
Tutto qua?[/quote]
questa è la trasformata di fourier secondo definizione[/quote]
Se non sbaglio il prof. ci ha detto che nella soluzione spuntava un v.p.,ma in questo modo credo che non spunti....
Di solito agli esami si assegna trasformata e serie di una replica periodica... sicuro non sia una roba del genere?
"Kroldar":
Di solito agli esami si assegna trasformata e serie di una replica periodica... sicuro non sia una roba del genere?
il testo è quello che ho postato
@nicasamarciano
Se devo applicare le proprietà devo tener conto che $|x|=xsignx$,giusto?comunque meglio applicare la definizione.Non era poi così difficile come credevo.....è sempre così dopo!
L'ansia mi tradisce sempre agli esami.
Il valor principale esce proprio dalla funzione segno...
"Kroldar":
Il valor principale esce proprio dalla funzione segno...
Si....ma applicando la definizione da dove esce il v.p.?
Non riesco a vederlo.
$F[|x|sinx] = F[x sgn(x) sinx]$
Che viene la trasformata di $xsgn(x)$ traslata in frequenza per una costante $pi/j$...
In particolare viene la convoluzione tra $F[x sgn(x)]$ e $pi((delta(omega-1)-delta(omega+1)))/j$
Che viene la trasformata di $xsgn(x)$ traslata in frequenza per una costante $pi/j$...
In particolare viene la convoluzione tra $F[x sgn(x)]$ e $pi((delta(omega-1)-delta(omega+1)))/j$
Si,ma dagli integrali che ha scritto nicola,esce il v.p.?a prima vista no.
Lui ti ha dato la definizione... a prima vista è impossibile dire cosa accada, non sono cose banali che si possono fare a occhio purtroppo
$ccF[chi_[[-pi/2,pi]](x)](lambda)=int_{-pi/2}^{pi}e^(-i*2pi*lambda*x)dx=[-e^(-2*pi*i*lambda*x)/(2*pi*i*lambda)]_(-pi/2)^(pi)=(e^(pi^2*lambda*i)-e^(-2*pi^2lambda))/(2*pi*lambda*i)$
$ccF[signt](lambda)=v.p. 1/(pi*i*lambda)$
applicando la derivata della trasformata si ha:$d/dt(v.p. 1/(pi*i*lambda))=-2piiccF[t*signt](lambda) => ccF[t*signt](lambda)=-1/(2pii)d/dt(v.p. 1/(pi*i*lambda))$
dalla proprietà di modulazione segue che:
$ccF[t*signt*sen(2pit)](lambda)=1/(2i){-1/(2pii)d/dt(v.p. 1/(pii*(lambda-1)))-1/(2pii)d/dt(v.p. 1/(pii*(lambda+1)))}$
quindi la soluzione è:
$ccF=(e^(pi^2*lambda*i)-e^(-2*pi^2*lambda*i))/(2*pi*lambda*i)+1/(2i){-1/(2pii)d/dt(v.p. 1/(pii*(lambda-1)))-1/(2pii)d/dt(v.p. 1/(pii*(lambda+1)))}$
$ccF[signt](lambda)=v.p. 1/(pi*i*lambda)$
applicando la derivata della trasformata si ha:$d/dt(v.p. 1/(pi*i*lambda))=-2piiccF[t*signt](lambda) => ccF[t*signt](lambda)=-1/(2pii)d/dt(v.p. 1/(pi*i*lambda))$
dalla proprietà di modulazione segue che:
$ccF[t*signt*sen(2pit)](lambda)=1/(2i){-1/(2pii)d/dt(v.p. 1/(pii*(lambda-1)))-1/(2pii)d/dt(v.p. 1/(pii*(lambda+1)))}$
quindi la soluzione è:
$ccF=(e^(pi^2*lambda*i)-e^(-2*pi^2*lambda*i))/(2*pi*lambda*i)+1/(2i){-1/(2pii)d/dt(v.p. 1/(pii*(lambda-1)))-1/(2pii)d/dt(v.p. 1/(pii*(lambda+1)))}$
E allora?!
E dai ragà,nessuno mi sa dire se sia esatto? 
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