La Place

[emitrax]

Trasformata apparentemente banale

$L[1/sqrt(x)](s)$

quanto fa?

[spassky]

"emitrax":Trasformata apparentemente banale

$L[1/sqrt(x)](s)$

quanto fa?

Si scrive LAPLACE e fa $sqrt(pi/x)$

[Kroldar]

Oddio, senza conoscere la funzione gamma non è poi tanto banale...

[emitrax]

In effetti vorrei capire come si la trasformata di LAPLACE di quella funzione. ..

[Kroldar]

La trasformata (unilatera) di Laplace di $x(t) = 1/sqrt(t)$ per definizione è uguale a

$ L_u[1/sqrt(t)] = int_0^(+oo) 1/sqrt(t) e^(-st) dt = int_0^(+oo) t^(-1/2) e^(-st) dt $

Ora effettuiamo la sostituzione $st = u => dt = (du)/s$ e quindi risulta

$ int_0^(+oo) t^(-1/2) e^(-st) dt = 1/s int_0^(+oo) (u/s)^(-1/2) e^(-u) du = 1/sqrt(s) int_0^(+oo) u^(-1/2) e^(-u) du $

Ma

$ int_0^(+oo) u^(-1/2) e^(-u) du $

per definizione è uguale a $Gamma(1/2) = sqrt(pi)$ per cui

$ L_u[1/sqrt(t)] = sqrt(pi/s) $