La pestilenza dell'integrabilità
Giuro che non lo faccio di proposito. Tuttavia questi esercizi sono un pò complicat per me e quelli più semplici della raccolta e non li ho"stranamente" risolti.
Sempre sulla verificc dell'integrabilità di una funzione, stavolta questa è
$(1+sin^4(1/x))/x^2$ e l'intervallo è $[2/pi,+oo]$
la funzione è infinitesima per x ->+oo ...come si dovrebbe procedere??
capissi una volta per tutto questa integrabilità...capisco un esempio, una dimostrazione, un esercizio e poi-----pluf
Sempre sulla verificc dell'integrabilità di una funzione, stavolta questa è
$(1+sin^4(1/x))/x^2$ e l'intervallo è $[2/pi,+oo]$
la funzione è infinitesima per x ->+oo ...come si dovrebbe procedere??
capissi una volta per tutto questa integrabilità...capisco un esempio, una dimostrazione, un esercizio e poi-----pluf
Risposte
Allora l'unico punto "critico" è l'infinito, fin qui spero si chiaro.....
Per verificare la sommabilità possimo trovare "semplicemente" una funzione convergente, in tale intervallo, che maggiora la funzione data:
$int_(2/pi)^(+oo) |(1+sen^4(1/x))|/x^2dx<=int_(2/pi)^(+oo) 2/x^2 dx$ dove l'ultimo integrale è convergente.
Perplessità?????
Per verificare la sommabilità possimo trovare "semplicemente" una funzione convergente, in tale intervallo, che maggiora la funzione data:
$int_(2/pi)^(+oo) |(1+sen^4(1/x))|/x^2dx<=int_(2/pi)^(+oo) 2/x^2 dx$ dove l'ultimo integrale è convergente.
Perplessità?????
tocca sempre a me parlarti di teoria? o meglio, invitarti ad usare la teoria? ti ricordi le condizioni di integrabilità (quelle standard, qui non ci sono casi particolari...) ?
inoltre ti ricorda nulla il fatto cha la funzione $f(x)=1/x$ è "discriminante" riguardo alla integrabilità?
più che verificare che è infinitesima (e basta), conviene verificare se è infinitesima di ordine superiore rispetto a $1/x$... ciao.
inoltre ti ricorda nulla il fatto cha la funzione $f(x)=1/x$ è "discriminante" riguardo alla integrabilità?
più che verificare che è infinitesima (e basta), conviene verificare se è infinitesima di ordine superiore rispetto a $1/x$... ciao.
"adaBTTLS":
tocca sempre a me parlarti di teoria? o meglio, invitarti ad usare la teoria? ti ricordi le condizioni di integrabilità (quelle standard, qui non ci sono casi particolari...) ?
inoltre ti ricorda nulla il fatto cha la funzione $f(x)=1/x$ è "discriminante" riguardo alla integrabilità?
più che verificare che è infinitesima (e basta), conviene verificare se è infinitesima di ordine superiore rispetto a $1/x$... ciao.
chiarissimo clrsc soltanto che il metodo che mi si richiede è differente. occorre ricorre a limiti oppur anche il metodo di rubik in questo topic mi è permesso. tuttavia il tuo procedimento non fa una grinza.
Ada..( ho abbreviato!)la teoria tra il libro e gli appuntt del mio prof è parecchio diversa. molto. ma credimi quando ti dico che non ho capito granchè. volevo capire come procedere in questo caso con il procedimmnto di rubik.
ormai sono dappertutto con questi integrali e questa integrabilità.....
ciò che mi converrebbe in questo caso forse dovrebbe permettermi di scrivere :
$lim_(k to +oo)int(_2/pi to +oo) ((1+sin^4(1/x))/x^2)dx$...poi trovarmi la primitiva....tanto simpatica e il limite, vedere se questo è finito, in tal caso dovrebbe risulterebbe integrabile....?
non ricordo esattamente il "metodo di rubik", però penso che "unendo le forze" ed unificando le notazioni anche quello che ti ha suggerito clrscr e quello che ti ho suggerito io vadano nella stessa direzione di rubik: io ti ho detto la teoria, clrscr ti ha consigliato con quale funzione fare il confronto e rubik ti ha detto come si fa a scrivere correttamente l'esercizio. però dal repertorio di rubik devi prendere l'esempio giusto: io ne ricordo uno che non fa al caso tuo, perchè si trattava di una funzione illimitata definita su un intervallo limitato... mentre in questo caso tu hai una funzione limitata definita in un intervallo illimitato...
quindi le considerazioni da fare, secondo me, sono le seguenti:
1) la funzione è continua e limitata nell'intervallo richiesto.
2) il limite, per x che tende a +infinito, del rapporto tra la funzione ed una funzione standard di cui si conosce l'integrabilità, è uguale a zero.
$1/x$ non è integrabile; $1/x^2$ è integrabile, ma temo che attraverso il limite non ti aiuti; devi prendere una potenza intermedia tra 1 e 2:
$1/x^(alpha)$, con $1 < alpha < 2$, ad esempio $alpha=3/2$ e fai vedere che la tua funzione è infinitesima di ordine superiore a $x^(-3/2)$ per $x->+oo$.
ciao.
quindi le considerazioni da fare, secondo me, sono le seguenti:
1) la funzione è continua e limitata nell'intervallo richiesto.
2) il limite, per x che tende a +infinito, del rapporto tra la funzione ed una funzione standard di cui si conosce l'integrabilità, è uguale a zero.
$1/x$ non è integrabile; $1/x^2$ è integrabile, ma temo che attraverso il limite non ti aiuti; devi prendere una potenza intermedia tra 1 e 2:
$1/x^(alpha)$, con $1 < alpha < 2$, ad esempio $alpha=3/2$ e fai vedere che la tua funzione è infinitesima di ordine superiore a $x^(-3/2)$ per $x->+oo$.
ciao.
ehm...limite...?non so farlo...veramente non saprei nemmenoo scriverlo ...potreste spiegarmi in generale come faccio a dedurre una funzione standard che renda la mia funzione infinitesima?
in delirio...a momenti ricorro pure agli sviluppi di questefunzioni senza riuscirmi a calcolarne il limite. perchè il prof è così sadico......
in delirio...a momenti ricorro pure agli sviluppi di questefunzioni senza riuscirmi a calcolarne il limite. perchè il prof è così sadico......
ciao alex! Non andare nel pallone, non è possibile che tu non sappia calcolare un limite se stai studiando gli integrali! 
Non è proprio così. Il metodo che ti sta suggerendo adaBTTLS è questo:
se hai una funzione $f:[a,+\infty)\toRR$ integrabile "sui compatti" (cioè $\forall b>a$, integrabile su $[a,b]$. E' sufficiente che sia una funzione continua su $[a,b]$ oppure con un numero finito di discontinuità e limitata - e questo lo sai benissimo dalla teoria, vero?
) e (nota bene) questa funzione è positiva, allora, per stabilire se l'integrale $int_a^{+\infty}f(x)\ dx$ converge puoi usare dei criteri di confronto esattamente nello stesso spirito dei teoremi di confronto per serie a termini positivi. Quindi, se sai che esiste una funzione positiva $g:[a,+\infty)\toRR$ t.c.:
$f(x)/g(x)\to\lambda, \lambda!=0, \lambda\inRR$, allora l'integrale di $f$ e quello fi $g$ hanno lo stesso carattere (se converge uno converge anche l'altro ecc...);
$f(x)/g(x)\to0$ se converge $g$ converge anche $f$;
$f(x)/g(x)\to+\infty$ se diverge $g$ diverge pure $f$.
E' facile da ricordare se pensi: nel primo caso le due funzioni "si assomigliano" in un intorno di $+\infty$, nel secondo la $f$ è "più piccola" della $g$, e quindi pure $F(x):=int_a^xf(t)dt$ è "più piccola" di $G(x):=int_a^xg(t)dt$, e siccome stiamo parlando di funzioni positive, questi integrali possono solo convergere o divergere positivamente. Se allora $G$ converge, $F
Adesso prova a calcolare $int_0^{+\infty}1/x^{\alpha}\ dx$. Per quali valori di $alpha$ converge? Con questi valori ti trovi una classe di funzioni campione con cui confrontare. Nell'integrale di prima, prova ad esempio a confrontare con $1/x^2$.
Infine: su questo sito c'è tutta una pagina di consigli su come studiare le funzioni definite da integrali, ma non riesco a trovarla! Qualcuno può suggerire il link?
come faccio a dedurre una funzione standard che renda la mia funzione infinitesima?
Non è proprio così. Il metodo che ti sta suggerendo adaBTTLS è questo:
se hai una funzione $f:[a,+\infty)\toRR$ integrabile "sui compatti" (cioè $\forall b>a$, integrabile su $[a,b]$. E' sufficiente che sia una funzione continua su $[a,b]$ oppure con un numero finito di discontinuità e limitata - e questo lo sai benissimo dalla teoria, vero?
) e (nota bene) questa funzione è positiva, allora, per stabilire se l'integrale $int_a^{+\infty}f(x)\ dx$ converge puoi usare dei criteri di confronto esattamente nello stesso spirito dei teoremi di confronto per serie a termini positivi. Quindi, se sai che esiste una funzione positiva $g:[a,+\infty)\toRR$ t.c.:$f(x)/g(x)\to\lambda, \lambda!=0, \lambda\inRR$, allora l'integrale di $f$ e quello fi $g$ hanno lo stesso carattere (se converge uno converge anche l'altro ecc...);
$f(x)/g(x)\to0$ se converge $g$ converge anche $f$;
$f(x)/g(x)\to+\infty$ se diverge $g$ diverge pure $f$.
E' facile da ricordare se pensi: nel primo caso le due funzioni "si assomigliano" in un intorno di $+\infty$, nel secondo la $f$ è "più piccola" della $g$, e quindi pure $F(x):=int_a^xf(t)dt$ è "più piccola" di $G(x):=int_a^xg(t)dt$, e siccome stiamo parlando di funzioni positive, questi integrali possono solo convergere o divergere positivamente. Se allora $G$ converge, $F
Adesso prova a calcolare $int_0^{+\infty}1/x^{\alpha}\ dx$. Per quali valori di $alpha$ converge? Con questi valori ti trovi una classe di funzioni campione con cui confrontare. Nell'integrale di prima, prova ad esempio a confrontare con $1/x^2$.
Infine: su questo sito c'è tutta una pagina di consigli su come studiare le funzioni definite da integrali, ma non riesco a trovarla! Qualcuno può suggerire il link?
ehm....che non sappia calcolare i limiti ormai è risaputo...con l'integrale di 1/x^2 ho trovato la primitiva ed è -1/x ma ora non ho capito cosa devo fare.
calcolo il limite per k che tende a più infinito di [-1/x] tra 0 e k...
calcolo il limite per k che tende a più infinito di [-1/x] tra 0 e k...
grazie per il link sugli integrali.
il limite che dovresti calcolare (quello che ti avevo suggerito...) è:
$lim_(x->+oo)\((1+sen^4(1/x))/x^2)/x^(-3/2)=lim_(x->+oo)\[x^(-2+3/2)*(1+sen^4(1/x))]=lim_(x->+oo)\[x^(-1/2)*(1+sen^4(1/x))]=lim_(x->+oo)\(1+sen^4(1/x))/sqrt(x)=0$, perché sen^4 non ha limite, ma assume valori compresi tra 0 e 1, quindi il numeratore è compreso tra 1 e 2, mentre il denominatore è infinito.
cioè la tua funzione tende a zero più rapidamente di x^(-3/2) per x che tende all'infinito. se vuoi un'altra prova, calcola $int_(2pi)^(+oo)\x^(-3/2)dx$. ciao.
il limite che dovresti calcolare (quello che ti avevo suggerito...) è:
$lim_(x->+oo)\((1+sen^4(1/x))/x^2)/x^(-3/2)=lim_(x->+oo)\[x^(-2+3/2)*(1+sen^4(1/x))]=lim_(x->+oo)\[x^(-1/2)*(1+sen^4(1/x))]=lim_(x->+oo)\(1+sen^4(1/x))/sqrt(x)=0$, perché sen^4 non ha limite, ma assume valori compresi tra 0 e 1, quindi il numeratore è compreso tra 1 e 2, mentre il denominatore è infinito.
cioè la tua funzione tende a zero più rapidamente di x^(-3/2) per x che tende all'infinito. se vuoi un'altra prova, calcola $int_(2pi)^(+oo)\x^(-3/2)dx$. ciao.
"adaBTTLS":
grazie per il link sugli integrali.
il limite che dovresti calcolare (quello che ti avevo suggerito...) è:
$lim_(x->+oo)\((1+sen^4(1/x))/x^2)/x^(-3/2)=lim_(x->+oo)\[x^(-2+3/2)*(1+sen^4(1/x))]=lim_(x->+oo)\[x^(-1/2)*(1+sen^4(1/x))]=lim_(x->+oo)\(1+sen^4(1/x))/sqrt(x)=0$, perché sen^4 non ha limite, ma assume valori compresi tra 0 e 1, quindi il numeratore è compreso tra 1 e 2, mentre il denominatore è infinito.
cioè la tua funzione tende a zero più rapidamente di x^(-3/2) per x che tende all'infinito. se vuoi un'altra prova, calcola $int_(2pi)^(+oo)\x^(-3/2)dx$. ciao.
calcolo subito e posto. grazie..non ho parole ada...davvero.
"bad.alex":
[quote="adaBTTLS"]grazie per il link sugli integrali.
il limite che dovresti calcolare (quello che ti avevo suggerito...) è:
$lim_(x->+oo)\((1+sen^4(1/x))/x^2)/x^(-3/2)=lim_(x->+oo)\[x^(-2+3/2)*(1+sen^4(1/x))]=lim_(x->+oo)\[x^(-1/2)*(1+sen^4(1/x))]=lim_(x->+oo)\(1+sen^4(1/x))/sqrt(x)=0$, perché sen^4 non ha limite, ma assume valori compresi tra 0 e 1, quindi il numeratore è compreso tra 1 e 2, mentre il denominatore è infinito.
cioè la tua funzione tende a zero più rapidamente di x^(-3/2) per x che tende all'infinito. se vuoi un'altra prova, calcola $int_(2pi)^(+oo)\x^(-3/2)dx$. ciao.
calcolo subito e posto. grazie..non ho parole ada...davvero.[/quote]
mi viene $lim_(k to+oo)[-2/(sqrtx)]_(2/pi) =+2/(sqrt(2/pi))$ risulta correttamente?
la primitiva è giusta, l'integrale definito non si scrive in quel modo e il valore da sostituire è $2pi$ e non $2/pi$:
$[-2/sqrt(x)]_(2pi)^(+oo) = lim_(x->+oo)\(-2/sqrt(x))+2/sqrt(2pi)=0+2/sqrt(2pi)=2/sqrt(2pi)=sqrt(2/pi)$
l'ultima espressione è stata ottenuta dalla precedente moltiplicando numeratore e denominatore per $sqrt(2)$ e semplificando il 2. ciao.
$[-2/sqrt(x)]_(2pi)^(+oo) = lim_(x->+oo)\(-2/sqrt(x))+2/sqrt(2pi)=0+2/sqrt(2pi)=2/sqrt(2pi)=sqrt(2/pi)$
l'ultima espressione è stata ottenuta dalla precedente moltiplicando numeratore e denominatore per $sqrt(2)$ e semplificando il 2. ciao.
"adaBTTLS":
la primitiva è giusta, l'integrale definito non si scrive in quel modo e il valore da sostituire è $2pi$ e non $2/pi$:
$[-2/sqrt(x)]_(2pi)^(+oo) = lim_(x->+oo)\(-2/sqrt(x))+2/sqrt(2pi)=0+2/sqrt(2pi)=2/sqrt(2pi)=sqrt(2/pi)$
l'ultima espressione è stata ottenuta dalla precedente moltiplicando numeratore e denominatore per $sqrt(2)$ e semplificando il 2. ciao.
hm...hai ragione...svista. grazie ancora ada.
alex
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