La norma dell'operatore di moltiplicazione

[dissonance]

Stavolta pongo una domanda più standard. Se [tex](M, \mu)[/tex] è uno spazio di misura [tex]\sigma[/tex]-finito possiamo definire degli operatori sul corrispondente spazio [tex]L^2(\mu)[/tex] mediante moltiplicazione: data una funzione (reale o complessa) q.o. finita [tex]a[/tex] poniamo [tex]D(A)=\{f\in L^2(\mu) \mid a(x)f(x)\in L^2(\mu)\}[/tex] e [tex]Af=a(x)f(x)[/tex] per ogni [tex]f \in D(A)[/tex].

Se [tex]a[/tex] è essenzialmente limitata, ovvero se [tex]\lVert a \rVert_{\infty} < \infty[/tex], questo operatore è limitato e certamente [tex]\lVert A \rVert \le \lVert a \rVert _{\infty}[/tex]; ora però vorrei mostrare l'uguaglianza, che mi sono convinto essere vera... Ma non ci riesco.

Mi dareste uno spunto? Grazie.

[Rigel1]

Sia $m = \|a\|_{\infty}$ e supponiamo $m>0$.
Fissato $\epsilon \in (0,m)$, l'insieme $\{x: |a(x)| > m-\epsilon\}$ ha misura positiva; sia $A$ un suo sottoinsieme di misura positiva e finita (thanks gugo).
Scegliamo $f = \chi_A$ (funzione caratteristica di $A$).
Avremo che $\|f\|_2^2 = \mu(A)$.
D'altra parte $\|Af\|_2^2 = \int_A |a|^2 d\mu > (m-\epsilon)^2 \mu(A)$.

[dissonance]

Oh benissimo, grazie mille Rigel, non è difficile per fortuna. Devo prenderci un po' la mano.

[dissonance]

Visto che ci sono scrivo qui a cosa mi è servito questo risultato. Si tratta di trovare lo spettro dell'operatore di moltiplicazione. Per spettro dell'operatore [tex]A[/tex] ([tex]\sigma(A)[/tex]) definito in uno spazio di Hilbert [tex]\mathfrak{H}[/tex] intendo il complementare dell'insieme risolvente, definito come

[tex]$\rho (A)= \{ z \in \mathbb{C} \mid (A-z I)^{-1}\in \mathcal{L}(\mathfrak{H}) \}[/tex] (c'era un bel post di Gugo al riguardo, se lo trovo posto il link) [edit] eccolo! [/edit]

Quando [tex]A[/tex] è l'operatore di moltiplicazione di cui ai post precedenti, se [tex]A-zI[/tex] è invertibile necessariamente l'operatore inverso deve essere

[tex](A-zI)^{-1} f= \frac{1}{a(x)-z}f[/tex], quindi ancora un operatore di moltiplicazione;

questo operatore è limitato sse

[tex]$\lVert (A-zI)^{-1} \rVert = \left\lVert \frac{1}{a(x)-z} \right\rVert_{\infty} \le M[/tex] per una costante [tex]M[/tex];

e richiedere che [tex]\lVert \frac{1}{a(x)-z} \rVert_{\infty} \le M[/tex] equivale a richiedere che [tex]\lvert \frac{1}{a(x)-z}\rvert \le M[/tex] quasi ovunque, quindi ancora a

[tex]$\mu \{x \mid \lvert a(x)- z \rvert \ge \frac{1}{M} \} =0[/tex].

Negando questa condizione ricaviamo lo spettro:

[tex]$z \in \sigma(A)\quad \iff \quad \forall \varepsilon >0,\ \mu \{x\ :\ \lvert a(x)- z \rvert < \varepsilon \} > 0[/tex];

si tratta, in altri termini, delle [tex]z[/tex] complesse tali che la contrimmagine mediante [tex]a[/tex] di ogni loro intorno ha misura non nulla. Questo insieme si chiama immagine essenziale (essential range): si può dimostrare facilmente che è sempre chiuso e che è contenuto nel disco chiuso di raggio [tex]\lVert A \rVert_{\infty}[/tex].

Risulta anche (ma qui ci sono arrivato da solo, c'è maggiore rischio che possa sbagliarmi - comunque sono abbastanza sicuro) che questo disco è il più piccolo disco del piano complesso che contenga l'immagine essenziale. In simboli, se [tex]\rm{ess im}(f) \ne \emptyset[/tex] allora

[tex]$\sup\{\lvert z \rvert \mid \forall \varepsilon >0,\ \mu \{x\ :\ \lvert a(x)- z \rvert < \varepsilon \} > 0 \}= \lVert a \rVert_{\infty}[/tex]

Questo ci permette di ottenere un risultato di tipo astratto per gli operatori di moltiplicazione: detto [tex]r(A)=\sup\{\lvert z \rvert \mid z \in \sigma (A) \}[/tex] (raggio spettrale di [tex]A[/tex]), risulta che

[tex]$r(A)= \lVert A \rVert[/tex].

Questo risultato non è scontato. Esistono infatti, e in grande abbondanza, operatori limitati per cui vale la disuguaglianza stretta [tex]r(A) < \lVert A \rVert[/tex]: un esempio facile è l'operatore di [tex]\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2[/tex] definito come

[tex](x, y) \mapsto \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}[/tex]

Tuttavia, in dimensione finita, si vede facilmente che gli operatori associati a matrici diagonali verificano l'uguaglianza. Si tratta di un caso particolare di operatore di moltiplicazione del tipo trattato in questo topic.

[gugo82]

Scusate, ma se l'insieme [tex]$\{|a|>m-\varepsilon\}$[/tex] ha misura infinita per ogni [tex]$0< \varepsilon Tipo, se prendo [tex]$a(x)=m \text{ (costante)} >0$[/tex] in [tex]$\mathbb{R}$[/tex]...

Si dovrà sfruttare la [tex]$\sigma$[/tex]-finitezza in qualche modo, penso.

[antani2]

Scusate se mi intrometto, premetto che ne so davvero poco per non dire nulla di analisi funzionale e teoria degli operatori e mi piacerebbe imparare qualcosa di più, ma il problema di trovare lo spettro non equivale anche a trovare gli autovalori $lambda\ \ t.c. \ \a(x)f(x)-lambdaf(x)=0,$ $f(x):\ \ R->C \ \ t.c. \ \int_(mathbb{R}) |f(x)|^2 < +oo$ $lambda in mathbb{C}$ che risulta essere non vuoto solo se $(da(x))/dx=0 forallx in mathbb{R},$ $ a in mathbb{C} $ e in quel caso l'autovalore sarebbe uno solo $lambda=a$ e le autofunzioni ogni $f(x) in L^2 (mathbb {R})$ ?

E per calcolare la norma sarebbe sbagliato usare la definizione $||T|| = s\ \u\ \p_(f\ \in\ \L^2 )\ \|(T(f))|/|f|$? Perchè così veniva che $s\ \u\ \p_(f\ \in\ \L^2 )\ \|a(x)f(x)|/|f(x)|= |a(x)| \ \ forall f(x)\ \ in\ \L^2(R)$?

[Rigel1]

"gugo82":Scusate, ma se l'insieme [tex]$\{|a|>m-\varepsilon\}$[/tex] ha misura infinita per ogni [tex]$0< \varepsilon Tipo, se prendo [tex]$a(x)=m \text{ (costante)} >0$[/tex] in [tex]$\mathbb{R}$[/tex]...

Si dovrà sfruttare la [tex]$\sigma$[/tex]-finitezza in qualche modo, penso.

Hai ragione, ho scritto di fretta e in maniera imprecisa.
Se l'insieme $A$ definito nel mio primo post ha misura infinita, basta considerare un qualsiasi suo sottoinsieme di misura finita e positiva.
Basta infatti che $f$ sia "concentrata" in una zona in cui $|a|$ è vicina all'ess-sup.

[Rigel1]

@antani:
l'operatore $T: X\to X$ agisce sullo spazio di Hilbert $X = L^2(\mu)$.
Quando vai ad esempio a calcolare $||T||$, nel quoziente da te scritto compaiono le norme $L^2$ di $Tf$ ed $f$ (e non i valori puntuali).
Come osservato da dissonance (nel caso $a\in L^{\infty}(\mu)$), la disuguaglianza $\frac{||Tf||_2}{||f||_2}\le ||a||_{\infty}$ per ogni $f\in X$, $f\ne 0$, è immediata; poi, per far vedere che il sup vale effettivamente $||a||_{\infty}$ occorre qualche passaggio in più (quelli mostrati nel mio primo post + precisazione di gugo).

[dissonance]

@antani: Attenzione ci sono degli errori:

1) non hai calcolato bene gli autovalori dell'operatore di moltiplicazione;
2) l'insieme degli autovalori è in generale un sottoinsieme proprio dello spettro.

1) L'equazione agli autovalori è

[tex]$ a(x)f(x)=\lambda f(x)[/tex]

che ha soluzione non banale se e solo se [tex]a[/tex] assume il valore [tex]\lambda[/tex] con misura non nulla. In questo caso, detto [tex]\Omega_{\lambda}=\{ x\ :\ a(x)=\lambda \}[/tex], la funzione [tex]\chi_{\Omega_{\lambda}}(x)[/tex] è un autovettore. In particolare l'operatore [tex]L^2[0, 1] \to L^2[0, 1][/tex] definito da

[tex]$Af=xf(x)[/tex]

è limitato ([tex]\lVert A \rVert =1[/tex]) e non ha nessun autovalore (nota: sarebbe servita allo scopo qualsiasi funzione strettamente monotona e limitata).

2) Non è detto che i valori spettrali siano tutti autovalori. Prendiamo di nuovo l'operatore del punto precedente; nota che lo spettro di [tex]A[/tex] non può essere vuoto per un teorema di validità generale: in uno spazio di Hilbert complesso gli operatori limitati hanno sempre almeno un valore spettrale. Siccome autovalori abbiamo dimostrato che non ce ne sono, questo già ci informa che esistono valori spettrali che non sono autovalori.

In particolare ragionando come nel mio post precedente si mostra che lo spettro di [tex]A[/tex] è esattamente l'intervallo [tex][0, 1][/tex].

[dissonance]

@Rigel: Con la tua precisazione tutto funziona a meraviglia. Ti ringrazio ancora per l'aiuto, ormai sei diventato un punto di riferimento per quanto riguarda la teoria della misura!

Mi è venuta poi una curiosità. Supponiamo che per ogni [tex]\varepsilon[/tex] l'insieme [tex]\{ \lvert a \rvert > m-\varepsilon \}[/tex] abbia misura infinita. Cosa ci garantisce che esista un sottoinsieme di misura finita e non nulla? Io direi: solo la sigma-finitezza, il che si riallaccia con l'osservazione di Gugo. Un esempio banalissimo può essere lo spazio [tex](M, \mathcal{M}, \mu)[/tex] dove [tex]\mathcal{M}=\{ \emptyset, M \}[/tex] e [tex]\mu(\emptyset)=0, \mu(M)=+\infty[/tex]: qui [tex]M[/tex] non ha sottoinsiemi di misura positiva e non nulla.

[Rigel1]

Certamente, come ha indicato Gugo si risolve tutto usando misure sigma-finite.
Infatti, se $X=\cup X_n$ con gli $X_n$ di misura finita, allora gli insiemi $A_n = A\cap X_n$ hanno tutti misura finita e, se $\mu(A) > 0$, esiste $n$ tale che $\mu(A_n) > 0$.

[antani2]

@Rigel e Dissonance
Grazie mille per le correzioni!
In particolare quello che mi ha fatto notare Rigel è proprio un errore scemo, chiedo scusa per amnesia.
Ma quindi trovare lo spettro significa trovare i valori tali che $(T-sI)^(-1)$ sia illimitato e gli autovalori invece i valori tali che $(T-lambdaI)f=0?$ e l'insieme dei $lambda$ è contenuto in $s$? Quindi snigifica che se un operatore ha nucleo non vuoto (nel nostro caso $T-lambdaI$) allora l'inverso è illimitato? Se sì come si dimostra?

Inoltre altra curiosità, visto che ci siamo, anche se non vorrei andare in off topic e quindi se non rispondete a questa domanda lo capisco, ma che differenze ha un operatore quando ha uno spettro discreto di autovalori e uno spettro continuo? Cioè ci son dei teoremi che aiutano a capire se gli autovalori di un operatore sono continui o discreti?
Lo chiedo perchè studio fisica e in meccanica quantistica capire questo non è di poco conto, a titolo d'esempio l'operatore hamiltoniano dell'oscillatore armonico $-h/(4pim) d^2/(dx^2)\ \+\ \1/2momega^2x^2$ ha spettro discreto, quello della particella libera $-h/(4pim) d^2/(dx^2)$ continuo e quello dell'atomo di idrogeno sia discreto che continuo(è troppo lungo e non ho voglai di scriverlo )

Infine vi chiederei sei avete uno dei vostri link che mandi a delle dispense chiare e benfatte su questi argomenti di analisi funzionale.

Comunque in ogni caso siete davvero gentilissimi, grazie dell'attenzione.

[dissonance]

Per quanto riguarda il link, proprio in questi giorni ne stiamo parlando:

https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#448712

"antani":Ma quindi trovare lo spettro significa trovare i valori tali che $(T-sI)^(-1)$ sia illimitato e gli autovalori invece i valori tali che $(T-lambdaI)f=0?$ e l'insieme dei $lambda$ è contenuto in $s$? Quindi snigifica che se un operatore ha nucleo non vuoto (nel nostro caso $T-lambdaI$) allora l'inverso è illimitato? Se sì come si dimostra?

Ti stai confondendo un poco. La spiegazione di Gugo l'hai letta? Forse ti è sfuggito il link. Leggi un po', è spiegato bene, se ti serve ne riparliamo.

[antani2]

Ok ora ho letto grazie per avermi mostrato, in effetti mi era sfuggito.

Comunque non ho capito una cosa allora, io prima avevo detto che lo spettro è l'insieme degli s tali che $(T-sI)^(-1)$ sia illimitato perchè pensavo che tu stessi facendo così quando hai calcolato "il complementare dello spettro", cioè il risolvente hai imposto che l'operatore inverso fosse limitato:

"dissonance":Visto che ci sono scrivo qui a cosa mi è servito questo risultato. Si tratta di trovare lo spettro dell'operatore di moltiplicazione. Per spettro dell'operatore [tex]A[/tex] ([tex]\sigma(A)[/tex]) definito in uno spazio di Hilbert [tex]\mathfrak{H}[/tex] intendo il complementare dell'insieme risolvente, definito come

[tex]$\rho (A)= \{ z \in \mathbb{C} \mid (A-z I)^{-1}\in \mathcal{L}(\mathfrak{H}) \}[/tex] (c'era un bel post di Gugo al riguardo, se lo trovo posto il link) [edit] eccolo! [/edit]

Quando [tex]A[/tex] è l'operatore di moltiplicazione di cui ai post precedenti, se [tex]A-zI[/tex] è invertibile necessariamente l'operatore inverso deve essere

[tex](A-zI)^{-1} f= \frac{1}{a(x)-z}f[/tex], quindi ancora un operatore di moltiplicazione;

questo operatore è limitato sse

[tex]$\lVert (A-zI)^{-1} \rVert = \left\lVert \frac{1}{a(x)-z} \right\rVert_{\infty} \le M[/tex] per una costante [tex]M[/tex];

Cosa non ho capito?

[dissonance]

Dire che [tex]z\in \rho(A)[/tex] sse [tex](A-zI)^{-1}\ \text{è limitato}[/tex] è una maniera sbrigativa per dire:

[tex]z \in \rho(A)\ \iff \ (A-zI)\ \text{è ingettivo e surgettivo e ha l'inverso limitato}[/tex]

ovvero, concretamente

[tex]z \in \rho(A) \ \iff \ \forall \varphi \in \mathfrak{H},\ \text{l'equazione}\ A\psi - z\psi =\varphi\ \text{ha una e una sola soluzione che dipende con continuità da}\ \varphi[/tex]

In particolare [tex]z[/tex] può non essere nell'insieme risolvente per vari motivi. Può essere che [tex]A-zI[/tex] non sia ingettivo, il che equivale a dire che l'equazione omogenea [tex]A\psi-z\psi=0[/tex] ha soluzioni non banali, e in questo caso [tex]z[/tex] è un autovalore di [tex]A[/tex]. Può essere che [tex]A-zI[/tex] non sia surgettivo, il che equivale a dire che l'equazione [tex]A\psi -z \psi=\varphi[/tex] non ha soluzione per qualche [tex]\varphi \in \mathfrak{H}[/tex]. E può anche essere che non succeda niente di tutto questo, ma che [tex](A-zI)^{-1}[/tex] pur essendo ben definito non sia continuo. C'è tutta una casistica che mi pare Gugo abbia raccolto nel suo post.

Nello svolgimento dell'esempio di prima io ho saltato alcuni passaggi, scrivendo direttamente l'espressione dell'operatore inverso e verificando che fosse continuo: così facendo ho omesso di verificare l'ingettività e la surgettività, verifica che in quel caso è banale. Spero di essermi spiegato, purtroppo sono molto stanco e casco dal sonno.

[dissonance]

Propongo lo svolgimento di un esercizio che spero essere illuminante per i dubbi di antani.

Problema (Tratto da Teschl Mathematical Methods for Quantum Mechanics, §2.20)
Siano [tex]\mathfrak{H}=L^2[0, \pi][/tex], [tex]D(A)=\{ f \in H^{2} (0, \pi) \mid f(0)=f(\pi)=0 \}[/tex] e [tex]A=-\frac{d^2}{dx^2}[/tex]. Calcolare autovalori, autovettori e risolvente.

[def.: [tex]\forall z \in \rho (A),\ R_A(z)=(A-zI)^{-1}[/tex]; questo operatore è detto risolvente e la funzione che a [tex]z\in \rho(A)[/tex] associa [tex]R_A(z)[/tex] è detta funzione risolvente].[/list:u:2c5u32wp]

Una osservazione preliminare ci può risparmiare alcuni conti: per ogni [tex]\psi \in D(A)[/tex], [tex](A\psi, \psi)=\lVert \psi ' \rVert ^2 \ge 0[/tex]; quindi l'operatore [tex]A[/tex] è simmetrico (cfr. Teschl, Lemma 2.1) e definito positivo.

*****
La prima cosa da fare è calcolare gli autovalori, ovvero le [tex]z \in \mathbb{C}[/tex] tali che l'equazione

(EP): [tex]$A \psi = z \psi[/tex]

ha soluzioni [tex]0 \ne \psi \in D(A)[/tex]. Dall'osservazione preliminare possiamo restringere l'indagine alle [tex]z=\lambda \ge 0[/tex].

[tex]0[/tex] non è un autovalore: infatti [tex]A \psi =0[/tex] equivale a [tex]\psi(x)=ax +b[/tex] e l'unica tale [tex]\psi[/tex] che verifichi [tex]\psi(0)=\psi(\pi)=0[/tex] è la funzione identicamente nulla. Per [tex]\lambda >0[/tex] la (EP) (con inclusa la condizione [tex]\psi \in D(A)[/tex]) diventa

[tex]$\begin{cases} \psi '' + \lambda \psi =0 \\ \psi(0)=\psi(\pi)=0 \end{cases}[/tex]

si tratta di un problema ai limiti che ha soluzione non banale se e solo se

[tex]\det \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ e^{i \sqrt{\lambda} \pi} & e^{-i \sqrt{\lambda} \pi} \end{bmatrix} = 0[/tex]

ovvero se e solo se [tex]\lambda=n^2[/tex] per un [tex]n \in \mathbb{N}[/tex]. Abbiamo trovato la successione degli autovalori di [tex]A[/tex]:

[tex]\mathrm{VP}(A)=\{ n^2 \mid n \in \mathbb{N}\}[/tex]

e i corrispondenti autovettori


[EDIT] Qui c'era un primo errore, avevo trascurato le condizioni al bordo nel calcolo degli autovettori, ottenendo il risultato [tex]\psi_\lambda(t)=C_1 e^{i n t}+C_2e^{-i n t}[/tex], evidentemente errato. Spero di non avere confuso nessuno. [/list:u:2c5u32wp]

[tex]\lambda=n^2 \Rightarrow \psi_{\lambda}(t)=C \sin(n t)[/tex].

*****
Da quanto detto al paragrafo precedente, per ogni [tex]z \ne n^2[/tex] l'operatore [tex]A - zI[/tex] è ingettivo. In particolare, posto [tex]D((A-zI)^{-1})=R(A-zI)[/tex] è definito un operatore [tex](A-zI)^{-1}[/tex]. Per definizione

[tex]z \in \rho(A)\quad \iff \quad D((A-zI)^{-1})=\mathfrak{H}\ \text{e}\ (A-zI)^{-1}\ \text{è un operatore limitato}[/tex].

[continua...]

[dissonance]

Mi scuso per l'interruzione, è che sto approfondendo io stesso la questione prima di tornare a postare per evitare di scrivere castronerie. Nel frattempo mi sono accorto che questo paragrafo di Wikipedia tratta proprio il problema in esame (con $w=1, q=0$).

[antani2]

Ok grazie seguirò questo topic leggendo il tuo problema svolto. Nel frattempo, per chiudere il discorso, ti posto il link dove dice che se T non è invertibile se è illimitato , e che dire che un operatore è invertibile significa dire che ha un inverso limitato, che direi che non sono vere in base a quello che mi hai spiegato tu no?
Il link è http://it.wikipedia.org/wiki/Spettro_(matematica) , le frasi di cui ti parlo dubbie sono all'inizio della voce "Classificazione dei punti dello spettro" e della sottovoce "Spettro discreto approssimato o spettro continuo"

[dissonance]

E' perché lì sta parlando di operatori limitati. In MQ in generale hai a che fare con operatori non limitati. Questo complica un po' le cose.

[antani2]

Sì in effetti in meccanica quantistica sono tutte moltiplicazioni e derivazioni quelle che compongono l'Hamiltoniano. Come mai complica le cose? dell'errore nel tuo problemino in effetti mi ero accorto, ma pensavo di esser io a non aver capito bene e quindi mi ero proposto di rileggere quando avresti finito tutto!
Comunque potresti spoiegarmi in che senso se l'operatore è illimitato allora sono implicate quelle due cose del post precedente?

[antani2]

PS quello che sti risolvendo tu è quello che in meccanica quantistica corrisponde alla particella in una buca infinita monodimensionale