La funzione $ x^x $
Per studiare la crescenza e decrescenza della funzione $ f(x) = x^x $ il libro dice :
"Sappiamo che la funzione logaritmo è crescente, quindi la crescenza e la decrescenza di $ f(x) $ sono equivalenti a quelle di $ g(x) = log (x^x) = x* log (x) $ ".
Non ho capito che ragionamento ha fatto per affermare ciò.
Grazie
"Sappiamo che la funzione logaritmo è crescente, quindi la crescenza e la decrescenza di $ f(x) $ sono equivalenti a quelle di $ g(x) = log (x^x) = x* log (x) $ ".
Non ho capito che ragionamento ha fatto per affermare ciò.
Grazie
Risposte
Quello che stanno dicendo e' che:
- studiare la (de)crescenza di $x^x$ e' difficile, ma
- per ogni $x$, se $x^x$ (de)cresce, anche $\log x^x$ (de)cresce, e
- studiare la (de)crescenza di $\log x^x$ e' piu' facile.
Quindi studio la (de)crescenza di $\log x^x$ e gli stessi risultati valgono per $x^x$.
Per vale questo "teoremino"...
Definiamo la funzione "crescenza" $C(f(x))$:
$C(f(x)) = 1$ se $f'(x) > 0$
$C(f(x)) = 0$ se $f'(x) <= 0$
Se $C(h(x)) = 1, \forall x $, allora $C(h(g(x))) = C(g(x)) $.
Nel nostro caso, $h$ e' il $log$ e $g$ e' $x^x$.
Non so, spero che sia piu' chiaro cosi'.
- studiare la (de)crescenza di $x^x$ e' difficile, ma
- per ogni $x$, se $x^x$ (de)cresce, anche $\log x^x$ (de)cresce, e
- studiare la (de)crescenza di $\log x^x$ e' piu' facile.
Quindi studio la (de)crescenza di $\log x^x$ e gli stessi risultati valgono per $x^x$.
Non ho capito che ragionamento ha fatto per affermare ciò.
Per vale questo "teoremino"...
Definiamo la funzione "crescenza" $C(f(x))$:
$C(f(x)) = 1$ se $f'(x) > 0$
$C(f(x)) = 0$ se $f'(x) <= 0$
Se $C(h(x)) = 1, \forall x $, allora $C(h(g(x))) = C(g(x)) $.
Nel nostro caso, $h$ e' il $log$ e $g$ e' $x^x$.
Non so, spero che sia piu' chiaro cosi'.
"Quinzio":
Quello che stanno dicendo e' che:
- se $x^x$ (de)cresce, anche $\log x^x$ (de)cresce, e
Come fai a dire questo? ( senza vedere prima i grafici )
Grazie
"olanda2000":
[quote="Quinzio"]Quello che stanno dicendo e' che:
- se $x^x$ (de)cresce, anche $\log x^x$ (de)cresce, e
Come fai a dire questo? ( senza vedere prima i grafici )
Grazie[/quote]
Ho aggiunto qualcosa alla risposta di prima.
Perche' vale il teoremino che ti ho scritto.
La dimostrazione non ce l'ho, ma so che e' vero.
La dimostrazione e' una cosa del tipo.
$(g(h(x)))' = g'(h(x)) h'(x) $
Se $\forall x, g'(x) > 0$, allora $C(g(h(x))) = C(h(x)) $
$(g(h(x)))' = g'(h(x)) h'(x) $
Se $\forall x, g'(x) > 0$, allora $C(g(h(x))) = C(h(x)) $
grazie ho capito
Ciao olanda2000,
Molto semplicemente osserverei che la funzione $f(x) = x^x $ ha dominio naturale $D = {x \in \RR : x > 0} $ e che per note proprietà dei logaritmi si può scrivere
$f(x) = x^x = e^{log(x^x)} = e^{x log(x)} = e^{g(x)} $
La derivata della funzione $x^x $ è uno dei primi esempi che mi sono stati insegnati di derivate di funzioni del tipo $[b(x)]^{a(x)} $ (nel caso in esame $b(x) = a(x) = x $) e si trova quasi subito $f'(x) = x^x [log(x) + 1] $ che, essendo $x^x > 0 $, risulta positiva o nulla per $log(x) + 1 \ge 0 \implies x >= 1/e $ da cui il punto di minimo $M(1/e, e^{- 1/e}) $
In definitiva la funzione $f(x) = x^x $ ha dominio naturale $D$, codominio $C = {y \in \RR : y >= e^{- 1/e}} $ e risulta:
- decrescente in $(0, 1/e) $;
- crescente in $(1/e, +\infty)$
"olanda2000":
"Sappiamo che la funzione logaritmo è crescente, quindi la crescenza e la decrescenza di $f(x)$ sono equivalenti a quelle di $g(x)=log(x^x)=x log(x) $".
Non ho capito che ragionamento ha fatto per affermare ciò.
Molto semplicemente osserverei che la funzione $f(x) = x^x $ ha dominio naturale $D = {x \in \RR : x > 0} $ e che per note proprietà dei logaritmi si può scrivere
$f(x) = x^x = e^{log(x^x)} = e^{x log(x)} = e^{g(x)} $
La derivata della funzione $x^x $ è uno dei primi esempi che mi sono stati insegnati di derivate di funzioni del tipo $[b(x)]^{a(x)} $ (nel caso in esame $b(x) = a(x) = x $) e si trova quasi subito $f'(x) = x^x [log(x) + 1] $ che, essendo $x^x > 0 $, risulta positiva o nulla per $log(x) + 1 \ge 0 \implies x >= 1/e $ da cui il punto di minimo $M(1/e, e^{- 1/e}) $
In definitiva la funzione $f(x) = x^x $ ha dominio naturale $D$, codominio $C = {y \in \RR : y >= e^{- 1/e}} $ e risulta:
- decrescente in $(0, 1/e) $;
- crescente in $(1/e, +\infty)$
"olanda2000":
Non ho capito che ragionamento ha fatto per affermare ciò.
Volevo giusto aggiungere che ciò vale anche per funzioni non derivabili: è una questione di definizione.
Sia $I \subseteq \mathbb{R}$, $I$ non vuoto, e sia $f:I \to \mathbb{R}$. Per definizione $f$ è strettamente crescente in $I$ se per ogni $x_1,x_2 \in I$ si ha $x_1
Il logaritmo in base $e$ è strettamente crescente e perciò rispetta la definizione di monotonia appena data. Quindi, quando vuoi studiare la monotonia di una certa funzione $f$, vuoi capire quando è vero che $x_1
Vale tutto anche nel caso di strettamente decrescente, però ricorda che applicando una funzione strettamente decrescente vanno cambiati i versi delle disuguaglianze.
Bella questa spiegazione, fatta senza usare il teorema della derivata di funzione composta . Grazie
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