La funzione $ x^x $

olanda2000
Per studiare la crescenza e decrescenza della funzione $ f(x) = x^x $ il libro dice :
"Sappiamo che la funzione logaritmo è crescente, quindi la crescenza e la decrescenza di $ f(x) $ sono equivalenti a quelle di $ g(x) = log (x^x) = x* log (x) $ ".

Non ho capito che ragionamento ha fatto per affermare ciò.

Grazie

Risposte
Quinzio
Quello che stanno dicendo e' che:
- studiare la (de)crescenza di $x^x$ e' difficile, ma
- per ogni $x$, se $x^x$ (de)cresce, anche $\log x^x$ (de)cresce, e
- studiare la (de)crescenza di $\log x^x$ e' piu' facile.

Quindi studio la (de)crescenza di $\log x^x$ e gli stessi risultati valgono per $x^x$.

Non ho capito che ragionamento ha fatto per affermare ciò.


Per vale questo "teoremino"...

Definiamo la funzione "crescenza" $C(f(x))$:
$C(f(x)) = 1$ se $f'(x) > 0$
$C(f(x)) = 0$ se $f'(x) <= 0$

Se $C(h(x)) = 1, \forall x $, allora $C(h(g(x))) = C(g(x)) $.

Nel nostro caso, $h$ e' il $log$ e $g$ e' $x^x$.

Non so, spero che sia piu' chiaro cosi'.

olanda2000
"Quinzio":
Quello che stanno dicendo e' che:
- se $x^x$ (de)cresce, anche $\log x^x$ (de)cresce, e


Come fai a dire questo? ( senza vedere prima i grafici )

Grazie

Quinzio
"olanda2000":
[quote="Quinzio"]Quello che stanno dicendo e' che:
- se $x^x$ (de)cresce, anche $\log x^x$ (de)cresce, e


Come fai a dire questo? ( senza vedere prima i grafici )

Grazie[/quote]

Ho aggiunto qualcosa alla risposta di prima.

Perche' vale il teoremino che ti ho scritto.

La dimostrazione non ce l'ho, ma so che e' vero. :?

Quinzio
La dimostrazione e' una cosa del tipo.

$(g(h(x)))' = g'(h(x)) h'(x) $

Se $\forall x, g'(x) > 0$, allora $C(g(h(x))) = C(h(x)) $

olanda2000
grazie ho capito

pilloeffe
Ciao olanda2000,

"olanda2000":
"Sappiamo che la funzione logaritmo è crescente, quindi la crescenza e la decrescenza di $f(x)$ sono equivalenti a quelle di $g(x)=log(x^x)=x log(x) $".

Non ho capito che ragionamento ha fatto per affermare ciò.

Molto semplicemente osserverei che la funzione $f(x) = x^x $ ha dominio naturale $D = {x \in \RR : x > 0} $ e che per note proprietà dei logaritmi si può scrivere

$f(x) = x^x = e^{log(x^x)} = e^{x log(x)} = e^{g(x)} $

La derivata della funzione $x^x $ è uno dei primi esempi che mi sono stati insegnati di derivate di funzioni del tipo $[b(x)]^{a(x)} $ (nel caso in esame $b(x) = a(x) = x $) e si trova quasi subito $f'(x) = x^x [log(x) + 1] $ che, essendo $x^x > 0 $, risulta positiva o nulla per $log(x) + 1 \ge 0 \implies x >= 1/e $ da cui il punto di minimo $M(1/e, e^{- 1/e}) $
In definitiva la funzione $f(x) = x^x $ ha dominio naturale $D$, codominio $C = {y \in \RR : y >= e^{- 1/e}} $ e risulta:
- decrescente in $(0, 1/e) $;
- crescente in $(1/e, +\infty)$

Mephlip
"olanda2000":

Non ho capito che ragionamento ha fatto per affermare ciò.

Volevo giusto aggiungere che ciò vale anche per funzioni non derivabili: è una questione di definizione.

Sia $I \subseteq \mathbb{R}$, $I$ non vuoto, e sia $f:I \to \mathbb{R}$. Per definizione $f$ è strettamente crescente in $I$ se per ogni $x_1,x_2 \in I$ si ha $x_1
Il logaritmo in base $e$ è strettamente crescente e perciò rispetta la definizione di monotonia appena data. Quindi, quando vuoi studiare la monotonia di una certa funzione $f$, vuoi capire quando è vero che $x_1 $$\log(f(x_1))<\log(f(x_2)) \implies \exp\log[f(x_1)]<\exp\log[f(x_2)] \implies f(x_1) Quindi, riassumendo, per $f$ positiva è $f(x_1)
Vale tutto anche nel caso di strettamente decrescente, però ricorda che applicando una funzione strettamente decrescente vanno cambiati i versi delle disuguaglianze.

olanda2000
Bella questa spiegazione, fatta senza usare il teorema della derivata di funzione composta . Grazie

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