La funzione segno è prolungabile in campo complesso?

[Jimbe1]

Gentili matematici

aiutate un povero ingegnere per questioni di natura Complessa:

La funzione $sgn(x)$ definita in spazio reale è estendibile in campo complesso?
Può essere espressa come $z/|z|$ con z complesso?

Il mio ragionamento è stato utilizzare ovviamente il teorema del prolungamento analitico per
$f^1(z) = sgn(z) - z/|z| $
e per
$f^2(z) = 0$

Tuttavia tale teorema richiede che entrambe le funzioni siano olomorfe (ovunque tranne per $z=0$ oserei dire), ma per verificare tale condizione, attraverso la verifica delle condizioni di Riemann-Cauchy, scopro che f1 non le soddisfa e di conseguenza non si può estendere tale funzione ( mentre Wikipedia asserisce il contrario). Nello sviluppo ho riscritto :
$sgn(z) = e^(iargz)$ , definizione della funzione segno in campo complesso ed il problema sta proprio lì perché una funzione $e^(ix)$ con x reale non è olomorfa.


Dove sbaglio?

Gianmarco

[phaerrax]

Magari semplicemente non puoi eseguire un prolungamento analitico?
La $f^1$ che hai scritto non è olomorfa, niente da fare.

[Jimbe1]

Riflettendoci credo di aver detto delle stupidate: il mio quesito era chiedermi se era lecito scrivere il segno complesso come il rapporto tra z e il suo modulo, mentre nell'applicazione del teorema citato ho messo tra le ipotesi che sgn(z) si potesse esprimere come l'esponenziale complesso dell'argomento di z. Ma questo è equivalente ad assumere per ipotesi che la frase precedente, cioè la tesi del mio quesito, sia vera.

Per cui forse la risposta è, come dice phaerrax, che sgn(z) non sia il prolungamento di sgn(x) ma che siano semplicemente due funzioni differenti.