La funzione integranda è uno sviluppo di taylor????
Sia f: $ Rrarr R $ continua tale che f(x)= 2-x+o(x) per $ xrarr 0 $
F(x)= $ int_(x(x-1))^(x) f(t)dt $ per $ x != 0 $
e
F(x)= a per x=0
determinare a in modo che F(x) sia derivabile in x=0
Quello che non capisco è:
-Come faccio se al posto della funzione integranda ho il suo sviluppo di taylor in un intorno di o???
-Come faccio a studiare F(x) in un intorno di 0 non capisco e poi il mio prof nella risoluzione tira in ballo il teorema della media integrale!!!
Se qualcuno mi aiuta ad affrontare la cosa, lo ringrazio!!!!
P.S: scusate la scrittura magari non molto chiara!
F(x)= $ int_(x(x-1))^(x) f(t)dt $ per $ x != 0 $
e
F(x)= a per x=0
determinare a in modo che F(x) sia derivabile in x=0
Quello che non capisco è:
-Come faccio se al posto della funzione integranda ho il suo sviluppo di taylor in un intorno di o???
-Come faccio a studiare F(x) in un intorno di 0 non capisco e poi il mio prof nella risoluzione tira in ballo il teorema della media integrale!!!
Se qualcuno mi aiuta ad affrontare la cosa, lo ringrazio!!!!
P.S: scusate la scrittura magari non molto chiara!
Risposte
Con $o(x)$ sbaglio oppure si intende una funzione $f(x)$ tale che $lim_(x->0) (f(x))/x ->0$ ?
A questo punto potresti interpretare $o(x)$ come $x^alpha$ con $alpha>1$ e continuare con il procedimento per verificare la derivabilità di una funzione.
A questo punto potresti interpretare $o(x)$ come $x^alpha$ con $alpha>1$ e continuare con il procedimento per verificare la derivabilità di una funzione.
@clrscr: Si, $o(x)$ significa quello, ma il procedimento che suggerisci (anche se concretamente funziona, e se inconsciamente è quello che tutti facciamo) è concettualmente sbagliato e io non lo consiglierei ad un neofita.
Comunque, @Salafairy: non ti fare spaventare dal fatto di non avere una funzione espressa nel modo solito. Questo esercizio segue lo stesso schema di tutti gli esercizi di tipo "determina $a$ in modo che $F$ sia derivabile". Comincia a imporre la continuità in $0$. Poi osserva che tu non solo sai che $F$ è derivabile ovunque, ma addirittura conosci l'espressione della derivata, per mezzo del teorema fondamentale del calcolo integrale (consulta il topic sulla funzione integrale di Camillo se hai dubbi su questo).
Infine, ricordati del Teorema di Darboux (è possibile che tu lo conosca con un nome diverso).
Comunque, @Salafairy: non ti fare spaventare dal fatto di non avere una funzione espressa nel modo solito. Questo esercizio segue lo stesso schema di tutti gli esercizi di tipo "determina $a$ in modo che $F$ sia derivabile". Comincia a imporre la continuità in $0$. Poi osserva che tu non solo sai che $F$ è derivabile ovunque, ma addirittura conosci l'espressione della derivata, per mezzo del teorema fondamentale del calcolo integrale (consulta il topic sulla funzione integrale di Camillo se hai dubbi su questo).
Infine, ricordati del Teorema di Darboux (è possibile che tu lo conosca con un nome diverso).
Quello che non capisco è come risolvere l'integrale proprio perchè l'integranda è uno sviluppo di taylor.
e non capisco se sia equivalente a risolvere questo : $ int_(x(x-1))^(x) 2-t+o(t) $ e sopratutto non capisco cosa farmene dell'o piccolo.
Se riesco a risolvere l'integrale poi semplicemente faccio i limiti per x->0 da destra e da sinistra e li uguaglio ad a, in questo modo impongo la continuità.
Giusto?
Con il teorema di Darboux ci sono e alla fine penso sia quello che applichi quando vuoi studiare la derivabilità della funzione in un punto.
Ps: grazie per aver risposto!!!
e non capisco se sia equivalente a risolvere questo : $ int_(x(x-1))^(x) 2-t+o(t) $ e sopratutto non capisco cosa farmene dell'o piccolo.
Se riesco a risolvere l'integrale poi semplicemente faccio i limiti per x->0 da destra e da sinistra e li uguaglio ad a, in questo modo impongo la continuità.
Giusto?
Con il teorema di Darboux ci sono e alla fine penso sia quello che applichi quando vuoi studiare la derivabilità della funzione in un punto.
Ps: grazie per aver risposto!!!
No, non devi calcolare l'integrale, come potresti?
P.S.: Quando studi la derivabilità di una funzione in un punto, di solito o applichi la definizione calcolando il limite del rapporto incrementale oppure usi il teorema di Darboux. Questo tra l'altro suggerisce una via alternativa per risolvere il problema, forse più simile a quello che l'esaminatore ha pensato tu facessi. Scrivi il rapporto incrementale
$\frac{F(h)-F(0)}{h}$
e stabilisci quanto deve valere $F(0)$ affinché questo limite esista finito. Puoi usare il teorema della media integrale, oppure il teorema fondamentale del calcolo e la regola di l'Hospital.
P.S.: Quando studi la derivabilità di una funzione in un punto, di solito o applichi la definizione calcolando il limite del rapporto incrementale oppure usi il teorema di Darboux. Questo tra l'altro suggerisce una via alternativa per risolvere il problema, forse più simile a quello che l'esaminatore ha pensato tu facessi. Scrivi il rapporto incrementale
$\frac{F(h)-F(0)}{h}$
e stabilisci quanto deve valere $F(0)$ affinché questo limite esista finito. Puoi usare il teorema della media integrale, oppure il teorema fondamentale del calcolo e la regola di l'Hospital.
ecco perchè il professore diceva che usava il teorema della media integrale, ma non capivo.
in pratica usi il rapporto incrementale dove l'incremento è $ x $ ,rispetto ad $ x=0 $ , e il valore che trovi è la derivata di $ F(x) $ in 0.
Ma il problema resta comunque se non hai F(x).
Inoltre F(0) non posso calcolarlo perchè diventa: $ 1 / (x^2) int_(0)^(0) 2-0 $ e $ 1 / (x^2) $ in 0 non lo posso calcolare!!
Non capisco!
OSSERVAZIONE: credo di aver capito una cosa: osservando l'integrale $ 1 / (x^2) int_(x(1-x))^(x) f(t)dt $ è esattamente la formula della media integrale!!!! perchè $ x-x(1-x) $ è pari ad $ (x^2).
in pratica esiste un x=c tale per cui quell'integrale è pari ad f(c) cioè 2-c+o(c) , essendo che $ x(1-x) < c < x $ , se sono in un intorno di 0, per x->0 anche c tende a zero, accade allora che f(c) (uguale all'integrale datomi) sia pari a 2.
Essendo che ho trovato essere F(x)=2 per x->0 allora $ a $ deve valere $ 2 $ . In questo modo ottengo la continuità.
E quindi la continuità credo sia risolta!!!
GIUSTO!??
in pratica usi il rapporto incrementale dove l'incremento è $ x $ ,rispetto ad $ x=0 $ , e il valore che trovi è la derivata di $ F(x) $ in 0.
Ma il problema resta comunque se non hai F(x).
Inoltre F(0) non posso calcolarlo perchè diventa: $ 1 / (x^2) int_(0)^(0) 2-0 $ e $ 1 / (x^2) $ in 0 non lo posso calcolare!!
Non capisco!
OSSERVAZIONE: credo di aver capito una cosa: osservando l'integrale $ 1 / (x^2) int_(x(1-x))^(x) f(t)dt $ è esattamente la formula della media integrale!!!! perchè $ x-x(1-x) $ è pari ad $ (x^2).
in pratica esiste un x=c tale per cui quell'integrale è pari ad f(c) cioè 2-c+o(c) , essendo che $ x(1-x) < c < x $ , se sono in un intorno di 0, per x->0 anche c tende a zero, accade allora che f(c) (uguale all'integrale datomi) sia pari a 2.
Essendo che ho trovato essere F(x)=2 per x->0 allora $ a $ deve valere $ 2 $ . In questo modo ottengo la continuità.
E quindi la continuità credo sia risolta!!!
GIUSTO!??
No, non mi piace tanto. Ricomincia da zero. Definisci [tex]F(0)=a[/tex] e scrivi il rapporto incrementale:
[tex]$\frac{F(h)-F(0)}{h}=\frac{\int_{h(h-1)}^{h}(2-t+o(t))\, dt - a }{h}[/tex]
Devi trovare [tex]a[/tex] in modo tale che questa espressione tenda ad un limite finito quando [tex]h \to 0[/tex]. Chiaro che il fatto di avere un integrale ci dà fastidio, dobbiamo togliercelo dai piedi. Come dicevamo le strade sono molteplici: il tuo prof ha scelto la media integrale e noi lo seguiamo. Applica questo teorema per fare sparire l'integrale, poi rifletti un po' su quali valori puoi assegnare ad [tex]a[/tex] perché la frazione resti stabile quando [tex]h \to 0[/tex].
[tex]$\frac{F(h)-F(0)}{h}=\frac{\int_{h(h-1)}^{h}(2-t+o(t))\, dt - a }{h}[/tex]
Devi trovare [tex]a[/tex] in modo tale che questa espressione tenda ad un limite finito quando [tex]h \to 0[/tex]. Chiaro che il fatto di avere un integrale ci dà fastidio, dobbiamo togliercelo dai piedi. Come dicevamo le strade sono molteplici: il tuo prof ha scelto la media integrale e noi lo seguiamo. Applica questo teorema per fare sparire l'integrale, poi rifletti un po' su quali valori puoi assegnare ad [tex]a[/tex] perché la frazione resti stabile quando [tex]h \to 0[/tex].
chiedo scusa perchè ho nell'integrale ho dimenticato un pezzo è $ F(x) = $ 1/(x^2)$ int_(x(1-x))^(x) f(t)dt $ per $ x != 0 $
in questo caso il mio ragionamento per la continuità funziona perchè la funzione risulta più semplice. Non credi?
Per la derivabilità però quello che tu mi indichi (che è esattamente ciò che fa il professore) non lo riesco proprio a risolvere. Togliore l'o piccolo dall'integrale si può??
Grazie per la pazienza!!!
in questo caso il mio ragionamento per la continuità funziona perchè la funzione risulta più semplice. Non credi?
Per la derivabilità però quello che tu mi indichi (che è esattamente ciò che fa il professore) non lo riesco proprio a risolvere. Togliore l'o piccolo dall'integrale si può??
Grazie per la pazienza!!!
Ah ecco perché usa la media integrale... Senza quell' $1/(x^2)$ non è la prima cosa che viene in mente. Vabbé. Allora il valore di $a$ dovresti averlo già determinato, dalla condizione di continuità: resta solo da calcolare il limite del rapporto incrementale, e qui direi proprio che ti conviene usare il teorema di de l'Hospital.
grazie mille dissonance e grazie anche a clrscr 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo