La funzione è olomorfa?
f(z)=xy+jv(x,y) esiste un v/ f è olomorfa in C?
1)Devo vedere se u è armonica. come si fa a vederlo?
Come trovo v? con Cauchy Rieman
sistema: Ux=Vy
Uy=-Vx
2)Mi spiegate come avviene fa a venire questo sistema?
viene Vy=Y ----------------> V= (Y^2)/2 + g(x)
-Vx=X ----------> - g(x)=X
V= - (X^2)/2 + (Y^2)/2
ciao
1)Devo vedere se u è armonica. come si fa a vederlo?
Come trovo v? con Cauchy Rieman
sistema: Ux=Vy
Uy=-Vx
2)Mi spiegate come avviene fa a venire questo sistema?
viene Vy=Y ----------------> V= (Y^2)/2 + g(x)
-Vx=X ----------> - g(x)=X
V= - (X^2)/2 + (Y^2)/2
ciao
Risposte
Dai dati del problema hai che :
$U = xy ; V = ? $
La condizione di Cauchy Riemann dice che perchè la funzione f(x,y) sia olomorfa deve essere:
$Ux = Vy ; Uy = -Vx $
ma : $Ux = y ; Uy = x $
e quindi la condizione diventa :
$ y =Vy $; $ x = -Vx $
Integro la prima equazione e ottengo :
$ V = y^2/2 +g(x) $ con $ g(x) $per ora sconosciuta.
Per determinare $g(x) $ derivo la funzione V ottenuta rispetto a x e ho :
$Vx = g'(x) $ , ma $ g'(x)$ deve essere uguale a $-x $ e quindi $ g(x) = -x^2/2 $.
La funzione V è quindi : $ y^2/2-x^2/2$.
Camillo
$U = xy ; V = ? $
La condizione di Cauchy Riemann dice che perchè la funzione f(x,y) sia olomorfa deve essere:
$Ux = Vy ; Uy = -Vx $
ma : $Ux = y ; Uy = x $
e quindi la condizione diventa :
$ y =Vy $; $ x = -Vx $
Integro la prima equazione e ottengo :
$ V = y^2/2 +g(x) $ con $ g(x) $per ora sconosciuta.
Per determinare $g(x) $ derivo la funzione V ottenuta rispetto a x e ho :
$Vx = g'(x) $ , ma $ g'(x)$ deve essere uguale a $-x $ e quindi $ g(x) = -x^2/2 $.
La funzione V è quindi : $ y^2/2-x^2/2$.
Camillo
La soluzione di camillo è perfetta... per quanto riguarda l'armonicità della funzione, basta tenere conto della definizione:
Sia Omega un aperto di C. Si dice che una funzione f definita in Omega è armonica nell'aperto se è di classe C(2), cioè se è continua assieme alle sue derivate prima e seconda, e soddisfa identicamente la condizione: "Laplaciano di f = 0"
Il laplaciano o operatore di Laplace associa a una funzione la somma algebrica delle sue derivate parziali rispetto a x e y.
Nel caso specifico la derivata seconda della funzione rispetto a x è -j e la derivata parziale rispetto a y è j, dunque la loro somma è identicamente nulla. Da ciò segue che la funzione è armonica in C.
Sia Omega un aperto di C. Si dice che una funzione f definita in Omega è armonica nell'aperto se è di classe C(2), cioè se è continua assieme alle sue derivate prima e seconda, e soddisfa identicamente la condizione: "Laplaciano di f = 0"
Il laplaciano o operatore di Laplace associa a una funzione la somma algebrica delle sue derivate parziali rispetto a x e y.
Nel caso specifico la derivata seconda della funzione rispetto a x è -j e la derivata parziale rispetto a y è j, dunque la loro somma è identicamente nulla. Da ciò segue che la funzione è armonica in C.
Correzione 
La soluzione di camillo è perfetta... per quanto riguarda l'armonicità della funzione, basta tenere conto della definizione:
Sia Omega un aperto di C. Si dice che una funzione f definita in Omega è armonica nell'aperto se è di classe C(2), cioè se è continua assieme alle sue derivate prima e seconda, e soddisfa identicamente la condizione: "Laplaciano di f = 0"
Il laplaciano o operatore di Laplace associa a una funzione la somma algebrica delle sue derivate parziali SECONDE (pure, non miste) rispetto a x e y.
Nel caso specifico la derivata seconda della funzione rispetto a x è -j e la derivata parziale rispetto a y è j, dunque la loro somma è identicamente nulla. Da ciò segue che la funzione è armonica in C.
La soluzione di camillo è perfetta... per quanto riguarda l'armonicità della funzione, basta tenere conto della definizione:
Sia Omega un aperto di C. Si dice che una funzione f definita in Omega è armonica nell'aperto se è di classe C(2), cioè se è continua assieme alle sue derivate prima e seconda, e soddisfa identicamente la condizione: "Laplaciano di f = 0"
Il laplaciano o operatore di Laplace associa a una funzione la somma algebrica delle sue derivate parziali SECONDE (pure, non miste) rispetto a x e y.
Nel caso specifico la derivata seconda della funzione rispetto a x è -j e la derivata parziale rispetto a y è j, dunque la loro somma è identicamente nulla. Da ciò segue che la funzione è armonica in C.
"camillo":
ma : $Ux = y ; Uy = x $
questo come lo facciamo a sapere?
"camillo":
ma $ g'(x)$ deve essere uguale a $-x $ .
perchè deve essere = -x? chi ce lo dice?
grazie a tutti
Lavorando in campo complesso, ogni funzione f(z), può essere pensata come una f(x,y), con x e y reali, poiché ogni numero complesso z può essere scritto come somma di una parte reale più una parte immaginaria in questo modo: z = x+jy . Siccome oltre che al dominio, anche il codominio delle funzioni che esaminiamo è complesso, ogni funzione f(z) = f(x,y) può essere pensata come somma di due funzioni reali U e W, con W che moltiplica l'unità immaginaria, di questo tipo: f(x,y) = U(x,y) + jW(x,y). Per definizione f è olomorfa se (1) fx = fy/j. Applichiamo questa definizione alla nostra f(x,y). Risulta fx = Ux + jWx e fy = Uy + jWy. Sostituendo questo risultato nella (1) risulta Ux + jWx = Uy/j + Wy = -jUy + wy. Dunque Ux + jWx = Wy - jUy. Pertanto la parte reale del primo membro deve essere uguale alla parte reale del secondo membro; stesso discorso per la parte immaginaria. Da ciò segue il sistema $ Ux = Wy ; Uy = -Wx $
Nel tuo caso la funzione W è la tua funzione incognita V(x,y).
Nel tuo caso la funzione W è la tua funzione incognita V(x,y).
Sei stato chiarissimo, grazie. Ma continuo a non vedere connessione tra esercizio e teoria.
Mi trovo con questa U=xy;V=?
ma non mi trovo con Ux=y;Uy=x ?
Mi trovo con questa U=xy;V=?
ma non mi trovo con Ux=y;Uy=x ?
Nel tuo caso U è la parte reale della funzione, dunque U = xy
Derivando U rispetto a x risulta Ux = y, mentre derivando U rispetto a y viene Uy = x
Derivando U rispetto a x risulta Ux = y, mentre derivando U rispetto a y viene Uy = x
ho capito la prima parte grazie, ma perchè poi g'(x)=-x?
ciao
ciao
Per la condizione di Cauchy Riemann :$ Uy = -Vx $; ma $Uy = x $ e quindi :$ Vx = -x $ .
Ma V quanto vale ? $V = y^2/2 +g(x) $ , se adesso calcolo $Vx$ , cioè la derivata di V rispetto ad x ottengo :
$g'(x)$ e quindi in conclusione : $ g'(x) = -x $ e integrando ottengo : $ g(x) = -x^2/2 $ .
Ok ?
Camillo
Ma V quanto vale ? $V = y^2/2 +g(x) $ , se adesso calcolo $Vx$ , cioè la derivata di V rispetto ad x ottengo :
$g'(x)$ e quindi in conclusione : $ g'(x) = -x $ e integrando ottengo : $ g(x) = -x^2/2 $ .
Ok ?
Camillo
Due parole sulla armonicità della funzione trovata come soluzione, cioè della funzione$ F(x,y) =U(x,y) + j V(x,y) $ che nel caso vale : $ F(x,y) = xy +j(y^2/2-x^2/2) $.
Per verificare che una funzione è armonica si deve avere che la somma delle derivate seconde ( rispetto a x e rispetto a y ) uguale a 0, come già detto da Kroldar . Svolgo i calcoli che magari ti aiutano a capire meglio.
Fx = y -j x ; Fxx = -j
Fy = x+j y ; Fyy = j .
Con Fx indico la derivata parziale prima di F rispetto ad x , con Fxx indico la derivata parziale seconda di F rispetto ad x e analogamente con la variabile y .
Infine : Fxx+Fyy = -j+j = 0 quindi la funzione F è proprio armonica .
Camillo
Per verificare che una funzione è armonica si deve avere che la somma delle derivate seconde ( rispetto a x e rispetto a y ) uguale a 0, come già detto da Kroldar . Svolgo i calcoli che magari ti aiutano a capire meglio.
Fx = y -j x ; Fxx = -j
Fy = x+j y ; Fyy = j .
Con Fx indico la derivata parziale prima di F rispetto ad x , con Fxx indico la derivata parziale seconda di F rispetto ad x e analogamente con la variabile y .
Infine : Fxx+Fyy = -j+j = 0 quindi la funzione F è proprio armonica .
Camillo
grazie a tutti ho capito bene la teoria e l'esercizio. Un pò in ritardo ma ho dovuto recuperare un pò dopo l'influenza. ciao
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