La distribuzione pv1/x
(Metto in fondo al post le varie definizioni).
Studiando le distribuzioni di Schwartz mi sono posto questa
Domanda: E' possibile che la distribuzione $"pv"1/x$ non abbia ordine 0 (come tutte le funzioni $L_{"loc"}^1$)?
Io risponderei di sì per via del seguente conticino (metto in spoiler per non rendere troppo lungo il post):
Dal conticino seguirebbe poi che $"pv"1/x$ è una distribuzione di ordine 1.
Non che mi stupisca troppo, dal momento che $1/x\notinL_{"loc"}^1$; ma comunque mi colpisce che una funzione, anche se vista come valore principale, non diventi una distribuzione di ordine 0.
Che ne dite? Forse ho commesso qualche errore?
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Definizioni.
Nel seguito uso $D$ e $D'$ per indicare le funzioni test $RR\toRR$ e le corrispondenti distribuzioni.
Def.: $"pv"1/x$ è la distribuzione definita da
$\langle"pv"1/x, psi\rangle="pv"int_{-infty}^infty1/xpsi(x)"d"x$ per ogni $psi\inD$.
(dove $"pv"$ è il valore principale dell'integrale, i.e. $"pv"int_{-infty}^inftyphi(x)=lim_{epsilon\to0^+}int_{|x|>epsilon}phi(x)"d"x$).
Def.: (Ordine di una distribuzione)
Una $L\inD'$ si dice avere ordine $m\inNN$ se per ogni compatto $K\subRR$ esiste una costante $M_K$ tale che $|\langleL, psi\rangle|<=M_K||psi||_{C^m}$ per ogni $psi\inD$.
Studiando le distribuzioni di Schwartz mi sono posto questa
Domanda: E' possibile che la distribuzione $"pv"1/x$ non abbia ordine 0 (come tutte le funzioni $L_{"loc"}^1$)?
Io risponderei di sì per via del seguente conticino (metto in spoiler per non rendere troppo lungo il post):
Dal conticino seguirebbe poi che $"pv"1/x$ è una distribuzione di ordine 1.
Non che mi stupisca troppo, dal momento che $1/x\notinL_{"loc"}^1$; ma comunque mi colpisce che una funzione, anche se vista come valore principale, non diventi una distribuzione di ordine 0.
Che ne dite? Forse ho commesso qualche errore?
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Definizioni.
Nel seguito uso $D$ e $D'$ per indicare le funzioni test $RR\toRR$ e le corrispondenti distribuzioni.
Def.: $"pv"1/x$ è la distribuzione definita da
$\langle"pv"1/x, psi\rangle="pv"int_{-infty}^infty1/xpsi(x)"d"x$ per ogni $psi\inD$.
(dove $"pv"$ è il valore principale dell'integrale, i.e. $"pv"int_{-infty}^inftyphi(x)=lim_{epsilon\to0^+}int_{|x|>epsilon}phi(x)"d"x$).
Def.: (Ordine di una distribuzione)
Una $L\inD'$ si dice avere ordine $m\inNN$ se per ogni compatto $K\subRR$ esiste una costante $M_K$ tale che $|\langleL, psi\rangle|<=M_K||psi||_{C^m}$ per ogni $psi\inD$.
Risposte
Anche grazie a quanto leggo qui
http://www.math.purdue.edu/~arshak/F08/MA542/hw1.pdf
il tuo ragionamento mi sembra giusto.
Scusa l'intromissione, è che approfitto del fatto che ti stai concentrando su queste cose per chiederti una cosa: stai usando un testo di riferimento sulla teoria delle distribuzioni? (Sono sempre alla ricerca di un testo leggibile sull'argomento.)
Ok, ora do la linea
a chi se ne intende davvero di queste cose, ciao. 
http://www.math.purdue.edu/~arshak/F08/MA542/hw1.pdf
il tuo ragionamento mi sembra giusto.
Scusa l'intromissione, è che approfitto del fatto che ti stai concentrando su queste cose per chiederti una cosa: stai usando un testo di riferimento sulla teoria delle distribuzioni? (Sono sempre alla ricerca di un testo leggibile sull'argomento.)
Ok, ora do la linea
a chi se ne intende davvero di queste cose, ciao.
Ah ottimo. Il primo esercizio di quel pdf contiene esattamente la risposta che cercavo. Grazie!
Questo significa che, presa una successione di funzioni test $psi_n$ tali che $||psi_n||_{C^0}\to0$ ma $not[||psi_n||_{C^1}\to0]$, non è detto che $\langle"pv"1/x, psi_n\rangle\to0$. Curioso.
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Per quanto riguarda il testo, ogni tanto sfoglio il Rudin Functional analysis. Indubbiamente è una Bibbia dell'argomento ma se conosci l'autore saprai anche che richiede moltissimo impegno leggere un bestione del genere. Così, per farmi almeno una infarinatura (e passare l'esame in tempo utile), ho ripiegato su un libro per ingegneri, Analisi 3 di Gianni Gilardi.
Non so se consigliartelo perché dipende da cosa cerchi: il target, come ho detto, sono gli ingegneri, quindi non aspettarti grossi approfondimenti dal punto di vista teorico. Poi, non tratta solo di distribuzioni ma anche di trasformate di Fourier, analisi complessa, convoluzione ... insomma ci siamo capiti. IMHO tutto quello che perde sulla teoria lo guadagna con gli interessi sulle applicazioni. Per ora mi sta garbando assai.
Ti avviso però: il libro è introvabile. Sono arrivato a contattare l'autore per vedere di procurarmene una copia ma nisba. Lo devi cercare in qualche biblioteca.
Questo significa che, presa una successione di funzioni test $psi_n$ tali che $||psi_n||_{C^0}\to0$ ma $not[||psi_n||_{C^1}\to0]$, non è detto che $\langle"pv"1/x, psi_n\rangle\to0$. Curioso.
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Per quanto riguarda il testo, ogni tanto sfoglio il Rudin Functional analysis. Indubbiamente è una Bibbia dell'argomento ma se conosci l'autore saprai anche che richiede moltissimo impegno leggere un bestione del genere. Così, per farmi almeno una infarinatura (e passare l'esame in tempo utile), ho ripiegato su un libro per ingegneri, Analisi 3 di Gianni Gilardi.
Non so se consigliartelo perché dipende da cosa cerchi: il target, come ho detto, sono gli ingegneri, quindi non aspettarti grossi approfondimenti dal punto di vista teorico. Poi, non tratta solo di distribuzioni ma anche di trasformate di Fourier, analisi complessa, convoluzione ... insomma ci siamo capiti. IMHO tutto quello che perde sulla teoria lo guadagna con gli interessi sulle applicazioni. Per ora mi sta garbando assai.
Ti avviso però: il libro è introvabile. Sono arrivato a contattare l'autore per vedere di procurarmene una copia ma nisba. Lo devi cercare in qualche biblioteca.
Confermo tutto - secondo me $u=(p.v.)1/x$ e' la derivata di $ln(|x|)$ 
(e NON e' una funzione).
E' interessante vedere che $u$ e' una possibile distribuzione tale che $xu=1$ (ma non e' l'unica).
(e NON e' una funzione).E' interessante vedere che $u$ e' una possibile distribuzione tale che $xu=1$ (ma non e' l'unica).
Trovo il Rudin troppo difficile per me sinceramente (almeno per ora), il Gilardi lo conosco (ce l'ho... allora sono uno dei pochi fortunati? ). E' fatto bene, ma come dici tu è molto applicativo. Grazie mille, comunque, scusa il disturbo.
P.S.: Se ti interessa ancora il Gilardi, potresti provare a chiedere qui, se non l'hai già fatto, forse ce l'hanno (o forse no boh).
http://www.delporto.it/
Ma davvero poi non pubblicano più un libro così interessante? O tempora o mores...
Ciao.
). E' fatto bene, ma come dici tu è molto applicativo. Grazie mille, comunque, scusa il disturbo.P.S.: Se ti interessa ancora il Gilardi, potresti provare a chiedere qui, se non l'hai già fatto, forse ce l'hanno (o forse no boh).
http://www.delporto.it/
Ma davvero poi non pubblicano più un libro così interessante? O tempora o mores...
Ciao.
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