La derivata non è un limite...
...a volte.
Salve, vorrei sottoporvi alla seguente riflessione che mi causa una certa angoscia.
Se devo trovare la derivata nel punto $x=2$ della una funzione $y=$$x^2$ posso inventarmi una funzione che chiamerò funzione rapporto incrementale
$fi(\Delta x)=$$(2+\Delta x)^2-2^2/(\Delta x)$
questa sarà una funzione che associa ad ogni valore della variabile $\Delta x$ il relativo rapporto incrementale(ovvero rapporto incrementale fra $f(2)$ e $(x+\Delta x)$.
Ma questa funzione è semplicemente una retta! infatti SEMPLIFICANDOLA ovvero sviluppando il quadrato di binomio e raccogliendo $\Delta x$ giungo alla funzione $fis$($\Delta x$)=$4+\Delta x$
ma questa funzione di variabile $\Delta x$ così semplice e banale(una retta a 45° alzata di 4) sarà SEMPRE(ripeto la suddetta espressione)"una funzione che associa ad ogni valore della variabile $\Delta x$ il relativo rapporto incrementale".Pertando se voglio la derivata che è il rapporto incrementale quando l'incremento è zero mi basta vedere quando la funzione vale 0!
quindi $fis(0)=4$
che è la derivata della funzione nel punto x=2; ora mi basterà mantenere la x variabile ottenendo la "funzione derivata".
Quindi quello che volgio dire è che: ho trovato la derivata di una funzione SENZA PARLARE DI LIMITE!!!cioè senza riccorrere alla teoria dei limiti.
Lo stessso discorso non si può fare ne caso si $f=senx$" poichè la funzione rapporto incrementale non riuscirei a semplificarla come nel caso precedente ovvero non riuscireia FARLA VALERE zero ma solo a FARLA TENDERE a zero (e quindi userei la teoria dei limiti.
Insomma io chiedo a voi dopo questa "riflessione": si può dire che la definizione di derivata come limite del...bla bla... sia solo una definizione generica di derivata poichè CERTE funzioni si derivano SENZA parlare di limite?
Rispondetemi!!
Salve, vorrei sottoporvi alla seguente riflessione che mi causa una certa angoscia.
Se devo trovare la derivata nel punto $x=2$ della una funzione $y=$$x^2$ posso inventarmi una funzione che chiamerò funzione rapporto incrementale
$fi(\Delta x)=$$(2+\Delta x)^2-2^2/(\Delta x)$
questa sarà una funzione che associa ad ogni valore della variabile $\Delta x$ il relativo rapporto incrementale(ovvero rapporto incrementale fra $f(2)$ e $(x+\Delta x)$.
Ma questa funzione è semplicemente una retta! infatti SEMPLIFICANDOLA ovvero sviluppando il quadrato di binomio e raccogliendo $\Delta x$ giungo alla funzione $fis$($\Delta x$)=$4+\Delta x$
ma questa funzione di variabile $\Delta x$ così semplice e banale(una retta a 45° alzata di 4) sarà SEMPRE(ripeto la suddetta espressione)"una funzione che associa ad ogni valore della variabile $\Delta x$ il relativo rapporto incrementale".Pertando se voglio la derivata che è il rapporto incrementale quando l'incremento è zero mi basta vedere quando la funzione vale 0!
quindi $fis(0)=4$
che è la derivata della funzione nel punto x=2; ora mi basterà mantenere la x variabile ottenendo la "funzione derivata".
Quindi quello che volgio dire è che: ho trovato la derivata di una funzione SENZA PARLARE DI LIMITE!!!cioè senza riccorrere alla teoria dei limiti.
Lo stessso discorso non si può fare ne caso si $f=senx$" poichè la funzione rapporto incrementale non riuscirei a semplificarla come nel caso precedente ovvero non riuscireia FARLA VALERE zero ma solo a FARLA TENDERE a zero (e quindi userei la teoria dei limiti.
Insomma io chiedo a voi dopo questa "riflessione": si può dire che la definizione di derivata come limite del...bla bla... sia solo una definizione generica di derivata poichè CERTE funzioni si derivano SENZA parlare di limite?
Rispondetemi!!
Risposte
La derivata è per Definizione il limite del rapporto incrementale!
va bene enrico quella è la definizione e sono daccordo ma la mia domanda è: è possibile che in casi specifici come y=x^2 si possa usare una strada alternativa?
Quello che dici non va bene perché prima usi a denominatore $Delta x$, e se è un denominatore deve essere $!=0$, poi nella frazione lo semplifichi, ma la proprietà invariantiva delle frazioni obbliga il fattore ad essere nuovamente $!=0$, ma alla fine dici che è 0.
Il limite si usa proprio per questo, $Delta x$ tende a 0, ma non lo è, quindi quando serve che sia $!=0$ è diverso da 0, però possiamo farlo avvicinare a 0 quanto vogliamo.
Il limite si usa proprio per questo, $Delta x$ tende a 0, ma non lo è, quindi quando serve che sia $!=0$ è diverso da 0, però possiamo farlo avvicinare a 0 quanto vogliamo.
"@melia":
Quello che dici non va bene perché prima usi a denominatore $Delta x$, e se è un denominatore deve essere $!=0$, poi nella frazione lo semplifichi, ma la proprietà invariantiva delle frazioni obbliga il fattore ad essere nuovamente $!=0$, ma alla fine dici che è $0$.
Queste sono le stesse giuste obiezioni che l'abate Berkeley muoveva a Newton ed al suo metodo delle flussioni (in The Analyst - A DISCOURSE Addressed to an Infidel Mathematician, 1734).
"@melia":
Il limite si usa proprio per questo, $Delta x$ tende a 0, ma non lo è, quindi quando serve che sia $!=0$ è diverso da 0, però possiamo farlo avvicinare a 0 quanto vogliamo.
E questa è la risposta che la Matematica (leggi Cauchy) ha escogitato per superare l'ostacolo.
Suggerisco a funny hill di ragionare bene su quanto detto da @melia e casomai di leggere un po' di storia della Matematica (ad esempio, Boyer, Storia del Calcolo Infinitesimale).
"gugo82":
... le stesse giuste obiezioni che l'abate Berkeley muoveva a Newton...la risposta che la Matematica (leggi Cauchy) ha escogitato...
Capperi, non credevo di avere scomodato dei precedenti così illustri.
Brava, @melia. Queste cose le spieghi anche ai tuoi studenti?
"dissonance":
Brava, @melia. Queste cose le spieghi anche ai tuoi studenti?
Certamente.
grazie per la vostra disponibilità.
In pratica il mio errore è grave: credere che l'espresione del tipo $x-2$ sia uguale a $(x^2-4)/(x+2)$ (ovvero moltiplicato e diviso per $x+2$) mentre non è così; data un'espressione posso sempre moltiplicare e dividere per uno stesso numero eccetto per zero!Giusto?
Per gugo; è questo che dici?http://www.ibs.it/code/9788842420279/boyer-carl-b-/storia-del-calcolo.html
In pratica il mio errore è grave: credere che l'espresione del tipo $x-2$ sia uguale a $(x^2-4)/(x+2)$ (ovvero moltiplicato e diviso per $x+2$) mentre non è così; data un'espressione posso sempre moltiplicare e dividere per uno stesso numero eccetto per zero!Giusto?
Per gugo; è questo che dici?http://www.ibs.it/code/9788842420279/boyer-carl-b-/storia-del-calcolo.html
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