[L^2] Dall'uguaglianza di integrali all'uguaglianza q.o.
Ecco una proposizione che ritenevo essere vera, ma che ora mi sta facendo sorgere dubbi:
Siano [tex]f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}[/tex] misurabile, [tex]E \subset L^2(\mathbb{R}^n)[/tex] un sottospazio denso e [tex]f^\star \in L^2(\mathbb{R}^n)[/tex] tali che:
Siano [tex]f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}[/tex] misurabile, [tex]E \subset L^2(\mathbb{R}^n)[/tex] un sottospazio denso e [tex]f^\star \in L^2(\mathbb{R}^n)[/tex] tali che:
[*:3h608goh]per ogni [tex]g \in E[/tex] si ha [tex]fg\in L^1(\mathbb{R}^n)[/tex];[/*:m:3h608goh]
[*:3h608goh]per ogni [tex]g \in E[/tex],
[tex]$ \int_{\mathbb{R}^n}f(x)g(x)\, dx=\int_{\mathbb{R}^n}f^\star(x) g(x)\, dx.[/tex][/*:m:3h608goh][/list:u:3h608goh]
Allora [tex]f=f^\star[/tex] quasi ovunque. In particolare [tex]f \in L^2(\mathbb{R}^n)[/tex].
In effetti questo è vero se [tex]E[/tex] è un sottospazio sufficientemente ricco; ad esempio [tex]E=\mathcal{C}^\infty_c(\mathbb{R}^n)[/tex] va bene. Ma vanno bene tutti i sottospazi densi?
Risposte
A prima vista direi che la risposta è affermativa.
A partire da elementi di $E$, puoi costruire un sistema ortonormale completo $(g_k)$ di elementi di $"span" E$ (usando, ad esempio, il procedimento di Gram-Schmidt).
La prima condizione ti dice che sono definiti i coefficienti di Fourier $a_k =$.
La seconda condizione ti dice che essi coincidono con quelli di $f^{\star}$.
Mi sembra che questo basti.
A partire da elementi di $E$, puoi costruire un sistema ortonormale completo $(g_k)$ di elementi di $"span" E$ (usando, ad esempio, il procedimento di Gram-Schmidt).
La prima condizione ti dice che sono definiti i coefficienti di Fourier $a_k =
La seconda condizione ti dice che essi coincidono con quelli di $f^{\star}$.
Mi sembra che questo basti.
Ah si certo, la butti sui coefficienti di Fourier e aggiri così il problema di non sapere a priori che $f$ è quadraticamente sommabile. In effetti tutto si riduce a questo, trovare un modo di aggirare questo problema: la tua è una ottima soluzione della quale, al solito, ti ringrazio molto.
Sai però Rigel, c'è un punto che non mi convince. Abbiamo detto che $f^star=\sum_{k=1}^\infty a_k g_k$ con convergenza $L^2$, e che $<>=a_k$. Per concludere, qualcuno dovrebbe garantirci che
$sum_{k=0}^infty a_k g_k=f$ q.o.
almeno per una sottosuccessione, perché noi non sappiamo a priori che $f$ è in $L^2$. E questo chi ce lo garantisce? In una applicazione concreta che mi è capitata, ho risolto sconfinando nelle distribuzioni, mostrando cioè l'uguaglianza tra $f$ e $f^star$ in senso distribuzionale; ma qui $f$ è solo misurabile, quindi niente distribuzioni.
Ma forse è una banalità e io mi ci sto perdendo.
$sum_{k=0}^infty a_k g_k=f$ q.o.
almeno per una sottosuccessione, perché noi non sappiamo a priori che $f$ è in $L^2$. E questo chi ce lo garantisce? In una applicazione concreta che mi è capitata, ho risolto sconfinando nelle distribuzioni, mostrando cioè l'uguaglianza tra $f$ e $f^star$ in senso distribuzionale; ma qui $f$ è solo misurabile, quindi niente distribuzioni.
Ma forse è una banalità e io mi ci sto perdendo.
Mi sa che c'hai ragione. Bisognerà dimostrare preventivamente che $f\in L_{loc}^1$, posto che sia possibile farlo...
Proverò a pensarci; mi sorge il sospetto che non sia una cosa banale.
Proverò a pensarci; mi sorge il sospetto che non sia una cosa banale.
@dissonance: La cosa funziona, se non vedo male, quando [tex]$E$[/tex] contiene le funzioni caratteristiche degli aperti limitati (perchè con quelle degli aperti approssimi le caratteristiche dei compatti, con entrambe approssimi le caratteristiche dei misurabili e con quelle de i misurabili arrivi alle funzioni di [tex]$C_c$[/tex]).
@Rigel: Se una funzione è in [tex]$L^2$[/tex], allora è in [tex]$L_{\text{loc}}^1$[/tex] per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (infatti risulta [tex]\int_K |f|\ \text{d} x \leq |K|\ \lVert f \rVert_2[/tex] per ogni [tex]$K$[/tex] compatto).
@Rigel: Se una funzione è in [tex]$L^2$[/tex], allora è in [tex]$L_{\text{loc}}^1$[/tex] per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (infatti risulta [tex]\int_K |f|\ \text{d} x \leq |K|\ \lVert f \rVert_2[/tex] per ogni [tex]$K$[/tex] compatto).
@Gugo: purtroppo il problema è l'inverso: a priori non si sa se $f$ sia $L^2$ o meno, si sa solo che è misurabile.
Eh si, infatti mi sa che ci vuole qualche ipotesi su $E$. Leggo su Gilardi, pag.231 (numerazione del file), teorema 2.31, che - più in generale - una condizione sufficiente è che $E$ contenga le funzioni caratteristiche di un semianello di parti di $RR^n$ (Definizione 2.4 pag.227) che genera la $sigma$-algebra di Borel. E questa è evidentemente una conseguenza dei teoremi di estensione di misura.
In effetti gli aperti non vanno bene, perché la funzione caratteristica di un aperto non limitato non ha obbligo di essere a quadrato sommabile, ma vanno bene (ad esempio) i rettangoli limitati.
Ora mi viene il dubbio che la proposizione sia proprio falsa, ma trovare un controesempio non deve essere affatto una cosa banale, probabilmente è al di sopra delle mie capacità.
La cosa funziona, ad esempio, se $E$ contiene le funzioni caratteristiche degli aperti.
Eh si, infatti mi sa che ci vuole qualche ipotesi su $E$. Leggo su Gilardi, pag.231 (numerazione del file), teorema 2.31, che - più in generale - una condizione sufficiente è che $E$ contenga le funzioni caratteristiche di un semianello di parti di $RR^n$ (Definizione 2.4 pag.227) che genera la $sigma$-algebra di Borel. E questa è evidentemente una conseguenza dei teoremi di estensione di misura.
In effetti gli aperti non vanno bene, perché la funzione caratteristica di un aperto non limitato non ha obbligo di essere a quadrato sommabile, ma vanno bene (ad esempio) i rettangoli limitati.
Ora mi viene il dubbio che la proposizione sia proprio falsa, ma trovare un controesempio non deve essere affatto una cosa banale, probabilmente è al di sopra delle mie capacità.
Il problema è che la funzione $f$ è solo misurabile. Sappiamo che esiste $f^{\star}\in L^2$ tale che $\int (f-f^{\star}) g = 0$ per ogni $g\in E$, con $E$ insieme denso in $L^2$. E' vero che questo implica $f=f^{\star}$ quasi ovunque?
Edit: non avevo ancora visto la risposta di dissonance.
Edit: non avevo ancora visto la risposta di dissonance.
Ah, scusate, avevo letto male... 
Mi è casualmente tornato in mente questo problema.
Non ho una soluzione, ma penso di aver capito come si può impostare in generale.
Indichiamo con $\mathcal{F}$ la più piccola $\sigma$-algebra contenente gli insiemi del tipo $\phi^{-1}(A)$, con $A\subset\mathbb{R}$ aperto e $\phi\in E$.
Chiaramente avremo che $\mathcal{F}\subseteq\mathcal{M}$, dove $\mathcal{M}$ indica la $\sigma$-algebra degli insiemi Lebesgue-misurabili.
Indichiamo poi con $V = L^2(\mathcal{F})$ lo spazio delle funzioni $\phi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ $\mathcal{F}$-misurabili tali che $\int |\phi|^2 < \infty$.
In generale $V$ sarà un sottospazio chiuso di $L^2(\mathbb{R}^n)$; inoltre, per definizione abbiamo che $f^{\star} = "proj"_V(f)$.
Possiamo dunque garantire l'uguaglianza $f=f^{\star}$ a.e. solo se $V$ coincide con $L^2(\mathbb{R}^n)$, cioè se $\mathcal{F}=\mathcal{M}$.
Non ho una soluzione, ma penso di aver capito come si può impostare in generale.
Indichiamo con $\mathcal{F}$ la più piccola $\sigma$-algebra contenente gli insiemi del tipo $\phi^{-1}(A)$, con $A\subset\mathbb{R}$ aperto e $\phi\in E$.
Chiaramente avremo che $\mathcal{F}\subseteq\mathcal{M}$, dove $\mathcal{M}$ indica la $\sigma$-algebra degli insiemi Lebesgue-misurabili.
Indichiamo poi con $V = L^2(\mathcal{F})$ lo spazio delle funzioni $\phi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ $\mathcal{F}$-misurabili tali che $\int |\phi|^2 < \infty$.
In generale $V$ sarà un sottospazio chiuso di $L^2(\mathbb{R}^n)$; inoltre, per definizione abbiamo che $f^{\star} = "proj"_V(f)$.
Possiamo dunque garantire l'uguaglianza $f=f^{\star}$ a.e. solo se $V$ coincide con $L^2(\mathbb{R}^n)$, cioè se $\mathcal{F}=\mathcal{M}$.
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