\( \ker f \) chiuso $=>$ $f$ continua
Sia $X$ uno spazio vettoriale (per comodità su $RR$) normato.
E' ben noto che una forma lineare $f:X \to \RR$ (un funzionale) è continuo sse \( \ker f \) è chiuso in $X$.
In realtà (ed è un bell'esercizio del Rudin che ho svolto) si può dire di più: se $X,Y$ sono spazi vettoriali topologici (non necessariamente normati), $Y$ ha dimensione finita e \( \Lambda \colon X \to Y \) è una mappa lineare, allora $\Lambda$ è continua sse il suo nucleo è chiuso.
(Tra l'altro, la dimostrazione di questo simpatico fatterello non è difficile ed anzi è carina, quindi invito chi vuole a provarci).
Domanda: che cosa succede se $Y$ non ha dimensione finita? Il fatto che il nucleo di un operatore lineare sia chiuso è ancora sufficiente per la sua continuità? Temo di no, ma non trovo controesempi...
Grazie in anticipo.
E' ben noto che una forma lineare $f:X \to \RR$ (un funzionale) è continuo sse \( \ker f \) è chiuso in $X$.
In realtà (ed è un bell'esercizio del Rudin che ho svolto) si può dire di più: se $X,Y$ sono spazi vettoriali topologici (non necessariamente normati), $Y$ ha dimensione finita e \( \Lambda \colon X \to Y \) è una mappa lineare, allora $\Lambda$ è continua sse il suo nucleo è chiuso.
(Tra l'altro, la dimostrazione di questo simpatico fatterello non è difficile ed anzi è carina, quindi invito chi vuole a provarci).
Domanda: che cosa succede se $Y$ non ha dimensione finita? Il fatto che il nucleo di un operatore lineare sia chiuso è ancora sufficiente per la sua continuità? Temo di no, ma non trovo controesempi...
Grazie in anticipo.
Risposte
La "derivata"?
Prendiamo l'operatore:
\[
\begin{split}
D: c_{00} \ni (x_n)\mapsto (nx_n)\in c_{00}
\end{split}
\]
su \(c_{00}:=\{ x=(x_n):\ x \text{ è definitivamente nulla}\}\) munito della norma \(\| x\|_\infty := \sup |x_n|\).
L'operatore \(D\) è evidentemente lineare ed ha:
\[
\ker D =\operatorname{span} e^0 =\{ \alpha\ e^0\}_{\alpha \in \mathbb{R}}\; ,
\]
ove \(e^0:=(\delta_n^0)=(1,0,\ldots,0,\ldots)\), che è ovviamente un sottospazio chiuso (perchè finito-dimensionale).
Tuttavia \(D\) non è continuo, poiché non è limitato: infatti è:
\[
\| De^m\|_\infty =m
\]
ove come sopra \(e^m:=(\delta_n^m)=(0,\ldots,0,\underbrace{\ 1\ }_{\text{indice} = m },0,\ldots ,0,\ldots)\).
P.S.: Qualunque cosa tu voglia fare, il controesempio è sempre la derivata!
Prendiamo l'operatore:
\[
\begin{split}
D: c_{00} \ni (x_n)\mapsto (nx_n)\in c_{00}
\end{split}
\]
su \(c_{00}:=\{ x=(x_n):\ x \text{ è definitivamente nulla}\}\) munito della norma \(\| x\|_\infty := \sup |x_n|\).
L'operatore \(D\) è evidentemente lineare ed ha:
\[
\ker D =\operatorname{span} e^0 =\{ \alpha\ e^0\}_{\alpha \in \mathbb{R}}\; ,
\]
ove \(e^0:=(\delta_n^0)=(1,0,\ldots,0,\ldots)\), che è ovviamente un sottospazio chiuso (perchè finito-dimensionale).
Tuttavia \(D\) non è continuo, poiché non è limitato: infatti è:
\[
\| De^m\|_\infty =m
\]
ove come sopra \(e^m:=(\delta_n^m)=(0,\ldots,0,\underbrace{\ 1\ }_{\text{indice} = m },0,\ldots ,0,\ldots)\).
P.S.: Qualunque cosa tu voglia fare, il controesempio è sempre la derivata!
Mi scuso per il ritardo e ringrazio per la semplice e illuminante risposta. Come temevo, quindi la freccia in generale non si inverte.
Mi resta una domanda, forse sciocca ma voglio schiarirmi le idee. Cambia qualcosa se chiediamo la completezza dello spazio di arrivo? Se non ho preso abbagli, $c_{00}$ non è uno spazio di Banach rispetto alla norma infinito. Infatti, pensato come sottospazio di [tex]\ell^{\infty}[/tex] esso non è chiuso (ma non sono affatto sicuro di questa mia affermazione e chiedo gentilmente conferma): basta considerare la successione delle troncate della successione "armonica". In altre parole, se $x_1=(1,0, \ldots , 0 , \ldots,)$, $x_2=(1,1/2, 0, \ldots , 0 , \ldots,)$, $x_3=(1,1/2,1/3, 0, \ldots , 0 , \ldots,)$ dovrei avere $(x_k)_{k \in \NN} \subseteq c_{00}$ epperò, per $k \to \infty$, $x_k \to x$ in norma infinito (?), dove $x=(1,1/2, 1/3, \ldots , 1/n, \ldots) \notin c_{00}$. Questo discorso ti torna oppure ho detto un sacco di scemenze (=la bora mi sta facendo dare i numeri)?
Grazie per l'aiuto.
Mi resta una domanda, forse sciocca ma voglio schiarirmi le idee. Cambia qualcosa se chiediamo la completezza dello spazio di arrivo? Se non ho preso abbagli, $c_{00}$ non è uno spazio di Banach rispetto alla norma infinito. Infatti, pensato come sottospazio di [tex]\ell^{\infty}[/tex] esso non è chiuso (ma non sono affatto sicuro di questa mia affermazione e chiedo gentilmente conferma): basta considerare la successione delle troncate della successione "armonica". In altre parole, se $x_1=(1,0, \ldots , 0 , \ldots,)$, $x_2=(1,1/2, 0, \ldots , 0 , \ldots,)$, $x_3=(1,1/2,1/3, 0, \ldots , 0 , \ldots,)$ dovrei avere $(x_k)_{k \in \NN} \subseteq c_{00}$ epperò, per $k \to \infty$, $x_k \to x$ in norma infinito (?), dove $x=(1,1/2, 1/3, \ldots , 1/n, \ldots) \notin c_{00}$. Questo discorso ti torna oppure ho detto un sacco di scemenze (=la bora mi sta facendo dare i numeri)?
Grazie per l'aiuto.
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