Jacobiano sulla sfera

[Nebula2]

leggendo un articolo su un'equazione alle derivate parziali sulla sfera, ho trovato della notazione che non capisco.

nell'articolo si diceva che $partial_t omega + J(..., ...)$, indicando con $J$ lo jacobiano in cordinate sferiche, cioè:
$J(a,b)=1/(sin theta) (partial_theta a partial_phi b - partial_theta b partial_phi a)$.

... ma lo jacobiano non era semplicemente il differenziale del cambiamento di variabili? come mai qui è descritto come un operatore differenziale con 2 argomenti?

[dissonance]

Cita bene il contesto, non è chiaro cosa si intenda.

[Nebula2]

il dominio è la sfera unitaria, $omega$ è una funzione delle coordinate $theta$ e $phi$.
$omega$ è soluzione di
$partial_t omega+J(Delta_S^{-1} omega, omega)=0$,
avendo indicato con $Delta_S$ il laplaciano sferico e con $J$ lo jacobiano sferico, per il quale si ha in coordinate sferiche (?)
$J(a,b)=1/(sin theta) (partial_theta a partial_phi b - partial_theta b partial_phi a)$.

[dissonance]

Buh senti non ho proprio idea. \(a, b\) che sono? Ma che articolo è? Lascia il riferimento completo.

[Nebula2]

cosa sono $a$ e $b$? non lo so proprio... è quello che mi confonde... da quello che vedo funzioni. ma che c'entra uno jacobiano?
l'articolo è questo: http://prl.aps.org/abstract/PRL/v93/i26/e264501.

[Sk_Anonymous]

Siano $a=a(x,y)$ e $b=b(x,y)$ due funzioni definite sul piano. Sappiamo che si può esprimere $[dadb]$ moltiplicando un "Jacobiano sul piano" $[J_p]$ per l'elemento di superficie del piano $[dA_p=dxdy]$:

$dadb=J_pdA_p=|det(((dela)/(delx),(dela)/(dely)),((delb)/(delx),(delb)/(dely)))|dxdy$

Se vogliamo estendere questa notazione alla sfera, siano $a=a(\phi,\theta)$ e $b=b(\phi,\theta)$ due funzioni definite sulla sfera e si possa esprimere $[dadb]$ moltiplicando un "Jacobiano sferico" $[J_s]$ per l'elemento di superficie della sfera $[dA_s=sin\thetad\phid\theta]$:

$dadb=J_sdA_s=J_ssin\thetad\phid\theta$

Valendo la seguente relazione:

$dadb=|det(((dela)/(del\phi),(dela)/(del\theta)),((delb)/(del\phi),(delb)/(del\theta)))|d\phid\theta$

ne risulta:

$J_ssin\thetad\phid\theta=|det(((dela)/(del\phi),(dela)/(del\theta)),((delb)/(del\phi),(delb)/(del\theta)))|d\phid\theta rarr J_s=1/sin\theta|det(((dela)/(del\phi),(dela)/(del\theta)),((delb)/(del\phi),(delb)/(del\theta)))|$

In pratica, nell'introduzione del "Jacobiano sferico", mi sembra che si voglia mantenere una notazione del tipo $[dadb=J_pdA_p=J_sdA_s]$.

[Nebula2]

chiaro speculor, grazie.

[dissonance]

Ottimo lavoro speculor! Mai ci sarei arrivato.

[Sk_Anonymous]

@dissonance
Grazie.