Jacobiano funzione a valori in $R^n$
Buongiorno a tutti,
durante un'introduzione a un corso di metodi numerici (mentre stavamo introducendo il metodo di Newton per equazioni non lineari), si è posto l'accento sulla matrice Jacobiana.
In particolare, è stato chiesto di riflettere sul seguente fatto: calcolare lo Jacobiano di $f(\mathcal{x})=A*\mathcal{x}$, con $A$ matrice quadrata di taglia $n$ e $x$ vettore n-dimensionale.
Ho pensato così: in questo caso ho $f: RR^n \rarr RR^n , x \mapsto Ax$. Potrei considerare questa funzione come una n-upla di funzioni $f_i : RR^n \rarr RR$, lavorando così componente per componente. Pertanto ogni riga dello Jacobiano della $f$ è il gradiente delle $f_i$.
Per esempio, se $A$ è una matrice composta da scalari, esempio $A=[[1,0],[0,1]]$, allora $Jac(f)=A$. In generale, $Jac(f)$, con $f$ definita come prima, è data dalla stessa matrice $A$.
(Nel caso ovviamente $A$ sia matrice scalare).
So che è una cosa banale, ma vorrei non avere dubbi su questo.
durante un'introduzione a un corso di metodi numerici (mentre stavamo introducendo il metodo di Newton per equazioni non lineari), si è posto l'accento sulla matrice Jacobiana.
In particolare, è stato chiesto di riflettere sul seguente fatto: calcolare lo Jacobiano di $f(\mathcal{x})=A*\mathcal{x}$, con $A$ matrice quadrata di taglia $n$ e $x$ vettore n-dimensionale.
Ho pensato così: in questo caso ho $f: RR^n \rarr RR^n , x \mapsto Ax$. Potrei considerare questa funzione come una n-upla di funzioni $f_i : RR^n \rarr RR$, lavorando così componente per componente. Pertanto ogni riga dello Jacobiano della $f$ è il gradiente delle $f_i$.
Per esempio, se $A$ è una matrice composta da scalari, esempio $A=[[1,0],[0,1]]$, allora $Jac(f)=A$. In generale, $Jac(f)$, con $f$ definita come prima, è data dalla stessa matrice $A$.
(Nel caso ovviamente $A$ sia matrice scalare).
So che è una cosa banale, ma vorrei non avere dubbi su questo.
Risposte
Se ti è chiaro perché i gradienti sono le righe di $A$ allora hai finito.
Un'altra via è notare che $f$ è differenziabile in ogni punto e ha come differenziale in ogni punto $A$(basta fare il limite), adesso: il differenziale di $f$ in questo caso è un'applicazione $df: \mathbb{R^n} \to Hom(\mathbb{R^n}, \mathbb{R^n})$ Che ad ogni punto $x$ associa il differenziale $df(x)$. La matrice associata rispetto alle canoniche di $df(x)$ altro non è che lo jacobiano di $f$ valutato in $x$, da cui la tesi.
Un'altra via è notare che $f$ è differenziabile in ogni punto e ha come differenziale in ogni punto $A$(basta fare il limite), adesso: il differenziale di $f$ in questo caso è un'applicazione $df: \mathbb{R^n} \to Hom(\mathbb{R^n}, \mathbb{R^n})$ Che ad ogni punto $x$ associa il differenziale $df(x)$. La matrice associata rispetto alle canoniche di $df(x)$ altro non è che lo jacobiano di $f$ valutato in $x$, da cui la tesi.
"Shocker":
Un'altra via è notare che $f$ è differenziabile in ogni punto e ha come differenziale in ogni punto $A$(basta fare il limite),
Secondo me questa è la via più chiara dal punto di vista teorico. Del resto, il differenziale di una funzione è "la migliore approssimazione con una funzione lineare". Se la funzione data è già lineare, il suo differenziale *deve* coincidere con essa, altrimenti la definizione di differenziale sarebbe priva di senso.
$y=Ax$ ha componenti $y_i=A_(ij)x_j$, da cui $y_(i,k)=A_(ij)delta_(jk)=A_(ik)$, da cui la tesi.
Perdonata il ritardo nella risposta, grazie a tutti 
Quindi in sostanza il "succo" consiste nel fare il limite "componente per componente" per ogni entrata
Chiarissimo
"Shocker":
Un'altra via è notare che f è differenziabile in ogni punto e ha come differenziale in ogni punto A(basta fare il limite)
Quindi in sostanza il "succo" consiste nel fare il limite "componente per componente" per ogni entrata
"dissonance":
il differenziale di una funzione è "la migliore approssimazione con una funzione lineare". Se la funzione data è già lineare, il suo differenziale *deve* coincidere con essa, altrimenti la definizione di differenziale sarebbe priva di senso.
Chiarissimo
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