Iterazioni del coseno

[Epimenide93]

Un problema di analisi di stampo per nulla olimpionico che trovo assai carino e adatto a questa sezione. Magari riesco a convincere qualche liceale che con le funzioni circolari ci si possono fare anche cose diverse da equazioni goniometriche e torture affini.

Cosa succede iterando infinitamente la funzione \(x \mapsto \cos x\)?
In altre parole, cosa si può dire sulla successione \(\{\cos^{(n)} x \}\)?

[kobeilprofeta]

Dato che non risponde nessuno, scrivo un paio di (*) io
La successione converge chiaramente ad un valore, che però non so identificare.
All'inizio $-1<=x<=1$, poi $0,54<=x<=1$, poi si avvicina sempre di più ad un valore (graficamente è intuitivo)

(*) non sapevo come chiamarle

[axpgn]

Tu chiamale se vuoi ... riflessioni.

[xXStephXx]

Bè, se sai già che chiaramente converge, dovresti sapere anche la particolarità del valore a cui converge

[Epimenide93]

"kobeilprofeta":La successione converge chiaramente ad un valore

Corretto! Ora vediamo cosa possiamo ricavare da questo risultato...

Punto primo:

"xXStephXx":Bè, se sai già che chiaramente converge, dovresti sapere anche la particolarità del valore a cui converge

Di che particolarità si tratta? Come si dimostra?

Rispondere a questa domanda caratterizza abbastanza bene il numero in questione (nel senso che sappiamo dire un po' meglio "chi è"). Le stime le lasciamo agli analisti numerici

Punto secondo: qualche idea su come dimostrare che converge?

(Logicamente il secondo punto dovrebbe precedere il primo. Eppure...)

[kobeilprofeta]

"axpgn":Tu chiamale se vuoi ... riflessioni.

Ahahah alex...

No, comunque ci penso.

[Epimenide93]

Un suggerimento sulla prima domanda:

Supponiamo che la successione converga. Chiamo \(l\) il limite. Vale: \[\lim_{n \to \infty} \cos^{(n-1)}x = l\] (...)

ed uno sulla seconda:

https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem

[Pachisi]

Sia $ f(x)=cos x $ e sia $ x_0 $ un punto fisso, ossia $ f(x_0)=x_0 $. La iterazione del coseno sara` definita nel modo seguente:
$ cos(x_n)=x_{n+1} $, dove $ n \geq 1, n \in mathbb{N} $.

Per il teorema del valore medio, $ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) $, dove $ c \in (a,b) $ ed $ f $ e` continua in $ [a,b] $ ed esiste la derivata in $ (a,b) $. Prendendo $ x_0=b $ e $ x_n=a $, dove $ -\frac{1}{2}pi < a < b < \frac{1}{2}pi $, si ha $ | f'(c) |<1 $. Allora, segue che...

[kobeilprofeta]

Ehi

ho una $x$, ne calcolo il cos ed essa cambia... Quando raggiungiamo il valore a cui tende significa che essa praticamente non cambia più: $x= cos x$...

Ps: cosa c'entra il teorema di Lagrange?

[Epimenide93]

@Pachisi Bingo! Però

bisogna dimostrare che il limite se esiste è un punto fisso.

@kobeilprofeta l'intuizione c'è, ma... solo perché una cosa tende ad un valore non è mica detto che lo raggiunga. Però l'idea è buona.

[stormy1]

riporto,senza essermi scervellato(e quindi senza nessun merito)e a solo titolo informativo,il seguente

Teorema
Se la funzione $g(x)$ è definita e derivabile su tutto l'intervallo $[a,b]$,e se esiste un numero $r$ tale che $|g'(x)|leqr<1$ su tutto $[a,b]$,allora il processo iterativo $x_n=g(x_(n-1))$ converge ,indipendentemente dal valore iniziale $x_0 in [a,b]$, all'unica soluzione $c$ dell'equazione $x=g(x)$

chiaramente nel caso $g(x)=cosx$ si arriva rapidamente ad un intervallo $[a,b]$ in cui siano soddisfatte le ipotesi del teorema

[Rigel1]

"stormy":riporto,senza essermi scervellato(e quindi senza nessun merito)e a solo titolo informativo,il seguente

Teorema
Se la funzione $g(x)$ è definita e derivabile su tutto l'intervallo $[a,b]$,e se esiste un numero $r$ tale che $|g'(x)|leqr<1$ su tutto $[a,b]$,allora il processo iterativo $x_n=g(x_(n-1))$ converge ,indipendentemente dal valore iniziale $x_0 in [a,b]$, all'unica soluzione $c$ dell'equazione $x=g(x)$

Enunciato così questo teorema non è del tutto corretto, poiché le iterate potrebbero non essere nemmeno definite.
Devi partire da una funzione \(g\colon [a,b]\to [a,b]\).
Nel caso in questione puoi considerare la funzione \(g\colon [-1, 1]\to [-1,1]\) definita da \(g(x) = \cos x\); infatti è chiaro che, a partire dalla prima iterazione, la successione \((\cos^n x)\) sta sempre in \([-1,1]\).
A questo punto hai che
\[
|g'(x)| = |\sin x| \leq \sin 1 =: r < 1\qquad \forall x\in [-1,1]
\]
e sei dunque autorizzato ad utilizzare il teorema delle contrazioni nella forma enunciata sopra.

[stormy1]

oltre al teorema c'era scritta anche questa piccola riga

"stormy":chiaramente nel caso g(x)=cosx si arriva rapidamente ad un intervallo [a,b] in cui siano soddisfatte le ipotesi del teorema

in un primo momento avevo pensato di non scriverla per stimolare un minimo di ragionamento,poi ho cambiato idea visto che in questo forum ci sono parecchi fucili puntati su di me

[Rigel1]

"stormy":oltre al teorema c'era scritta anche questa piccola riga
[quote="stormy"]chiaramente nel caso g(x)=cosx si arriva rapidamente ad un intervallo [a,b] in cui siano soddisfatte le ipotesi del teorema

in un primo momento avevo pensato di non scriverla per stimolare un minimo di ragionamento,poi ho cambiato idea visto che in questo forum ci sono parecchi fucili puntati su di me[/quote]

???

Il punto non sta nell'affermazione da te riportata (che ovviamente si riferiva all'uso dell'intervallo \([-1,1]\)).
Il problema sta nell'enunciato, incompleto, del teorema.
Se, ad esempio, consideri la funzione \(g\colon [0,1]\to\mathbb{R}\) definita da \(g(x) = 2\) per ogni \(x\in [0,1]\), vedi bene che essa soddisfa le ipotesi del teorema da te riportato, ma chiaramente non ha punti fissi.

[giammaria2]

[xdom="giammaria"]Il discorso è ora su un livello superiore alla secondaria: sposto.[/xdom]

[stormy1]

penso che il testo,con la formula $x_n=g(x_(n-1))$, stia dicendo implicitamente che la funzione $g$ assume valori in $[a,b]$,cioè credo che dia per scontato che la successione si possa costruire

[Rigel1]

"stormy":penso che il testo,con la formula $x_n=g(x_(n-1))$, stia dicendo implicitamente che la funzione $g$ assume valori in $[a,b]$

Può essere...
Tuttavia, spesso il problema non è dimostrare che \(g\) è una contrazione, ma trovare un insieme invariante per \(g\). Per questo motivo credo sia importante specificare che \(g([a,b]) \subseteq [a,b]\).

[stormy1]

perfetto,giusta precisazione

[Epimenide93]

"giammaria":Il discorso è ora su un livello superiore alla secondaria: sposto.

Eh ma uffa! Il bello del problema è proprio il fatto che è un risultato profondo che ha sia un enunciato che una soluzione molto semplici! Mi sembra una misura eccessiva per una parentesi di qualche post. Ad ogni modo se proprio è necessario spostarlo qualche mod lo metta in Analisi, in questa stanza è decisamente fuori luogo.

[Rigel1]

Accontentato.

[Epimenide93]

[ot]

"Rigel":Accontentato.

Grazie [/ot]