Iterazione dell'operatore di Volterra è una contrazione
Ciao, amici! Leggo sugli Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale di A.N. Kolmogorov e S.V. Fomin (pp. 465-466 qui) che l'operatore integrale di Volterra $A:L_2[a,b]\to L_2[a,b]$ definito da \[(A\varphi)(s):=\int_{[a,s]}K(s,t)\varphi(t)d\mu_t+f(s)\] con \(K\in L_2([a,b]^2)\) e $f\in L_2[a,b]$, è tale che, se \(\forall(s,t)\in[a,b]^2 \quad |K(s,t)|\le M\), $A^n$ è una contrazione per qualche $n\in\mathbb{N}$. Il testo dice che la dimostrazione di ciò si effettua ripetendo letteralmente i ragionamenti della dimostrazione del caso $A:C[a,b]\to C[a,b]$, \(A\varphi(s)= \int_a^s K(s,t)\varphi(t)dt+f(s)\) con \(K\in C([a,b]^2)\), $f\in C[a,b]$ che si può trovare qui o a p. 84 del testo italiano.
Il nucleo dell'$n$-esima iterazione $A^n$ soddisfa, dice il Kolmogorov-Fomin (p. 471), per tutti i \((s,t)\in[a,b]^2\), direi, alla disuguaglianza\[|K_n(s,t)|\le\frac{M^n(b-a)^{n-1}}{(n-1)!}\]altro fatto che non riesco a dimostrare a me stesso e che penso essere legato in maniera essenziale alla dimostrazione del fatto che per un certo $n$ tale iterazione è una contrazione.
Ora, mi sa tanto che il fatto da utilizzare sia che \(\int_a^y\frac{(x-a)^{n-1}}{(n-1)!}dx=\frac{(y-a)^n}{n!}\), oltre a che, grazie alla disuguaglianza di Hölder, \(\|A\varphi_1-A\varphi_2\|^2\le\int_{[a,b]}(\int_{[a,s]}|K(s,t)|^2d\mu_t )(\int_{[a,s]}|\varphi_1(t)-\varphi_2(t) |^2d\mu_t ) d\mu_s\) per ogni \(\varphi_1,\varphi_2\in L_2[a,b]\), ma non riesco proprio a dimostrare né che $A^n$ è una contrazione per qualche $n$ né che \(|K_n(s,t)|\le\frac{M^n(b-a)^{n-1}}{(n-1)!}\).
Qualcuno, che abbia o no utilizzato questo celebre testo, ci capisce qualcosa?
$\infty$ grazie a tutti!
Il nucleo dell'$n$-esima iterazione $A^n$ soddisfa, dice il Kolmogorov-Fomin (p. 471), per tutti i \((s,t)\in[a,b]^2\), direi, alla disuguaglianza\[|K_n(s,t)|\le\frac{M^n(b-a)^{n-1}}{(n-1)!}\]altro fatto che non riesco a dimostrare a me stesso e che penso essere legato in maniera essenziale alla dimostrazione del fatto che per un certo $n$ tale iterazione è una contrazione.
Ora, mi sa tanto che il fatto da utilizzare sia che \(\int_a^y\frac{(x-a)^{n-1}}{(n-1)!}dx=\frac{(y-a)^n}{n!}\), oltre a che, grazie alla disuguaglianza di Hölder, \(\|A\varphi_1-A\varphi_2\|^2\le\int_{[a,b]}(\int_{[a,s]}|K(s,t)|^2d\mu_t )(\int_{[a,s]}|\varphi_1(t)-\varphi_2(t) |^2d\mu_t ) d\mu_s\) per ogni \(\varphi_1,\varphi_2\in L_2[a,b]\), ma non riesco proprio a dimostrare né che $A^n$ è una contrazione per qualche $n$ né che \(|K_n(s,t)|\le\frac{M^n(b-a)^{n-1}}{(n-1)!}\).
Qualcuno, che abbia o no utilizzato questo celebre testo, ci capisce qualcosa?
$\infty$ grazie a tutti!
Risposte
(Attenzione: sono di fretta, se non ti quadra qualcosa può facilmente darsi che mi stia sbagliando io).
Direi che la stima puntuale su $K$ è la cosa essenziale qui, una volta ottenuta quella puoi fare un discorso di Minkowski + Hölder (qui prendo $[a,b]=[0,1]$):
\[
\lVert A\psi_1 - A \psi_2 \rVert_2 \le \int_0^1 \lVert K(s, t)\rVert_{L^2 (ds)} |(\psi_1 - \psi_2)(t)|\, dt\le C(\lVert K\rVert_{L^\infty}) \lVert \psi_1 - \psi_2\rVert_{L^2(0,1)}.
\]
La \(C(\lVert K \rVert_\infty)\) è una cosa che tende a 0 quando la norma $\infty$ di $K$ tende a $0$.
Come ottenere la stima puntuale è un altro discorso. Si tratta di un fatto "computazionale", occorre calcolare il nucleo dell'$n$-esima iterazione (che sarà certamente ottenuto integrando $n$ volte la funzione $K$) e stimarlo. Qui gli spazi $L^2$ o $L^\infty$ non c'entrano, quindi la dimostrazione fornita nel caso precedente deve continuare a funzionare.
Direi che la stima puntuale su $K$ è la cosa essenziale qui, una volta ottenuta quella puoi fare un discorso di Minkowski + Hölder (qui prendo $[a,b]=[0,1]$):
\[
\lVert A\psi_1 - A \psi_2 \rVert_2 \le \int_0^1 \lVert K(s, t)\rVert_{L^2 (ds)} |(\psi_1 - \psi_2)(t)|\, dt\le C(\lVert K\rVert_{L^\infty}) \lVert \psi_1 - \psi_2\rVert_{L^2(0,1)}.
\]
La \(C(\lVert K \rVert_\infty)\) è una cosa che tende a 0 quando la norma $\infty$ di $K$ tende a $0$.
Come ottenere la stima puntuale è un altro discorso. Si tratta di un fatto "computazionale", occorre calcolare il nucleo dell'$n$-esima iterazione (che sarà certamente ottenuto integrando $n$ volte la funzione $K$) e stimarlo. Qui gli spazi $L^2$ o $L^\infty$ non c'entrano, quindi la dimostrazione fornita nel caso precedente deve continuare a funzionare.
Se sto seguendo correttamente, mi pare che\[\|A\psi_1-A\psi_2\|_{L^2[a,b]}^2\le\int_a^b\Bigg(\int_a^s|K(s,t)|^2dt\Bigg)\Bigg(\int_a^s|\psi_1(t)-\psi_2(t) |^2dt \Bigg) ds\]\[\le \|\psi_1-\psi_2\|_{L^2[a,b]}^2\int_a^b\int_a^s|K(s,t)|^2dt ds\]e, naturalmente, \(\int_a^b\int_a^s|K(s,t)|^2dt ds\to 0\) per \(\|K\|_{L^2([a,b]^2)}\to 0\), giusto?
Tuttavia trovo per nulla semplice dimostrare la contrazione e la maggiorazione di \(|K_n(s,t)|\) di p. 471, che non mi stupirei se fossero correlate in maniera essenzialmente utile alla dimostrazione della contrazione, un po' come nella dimostrazione del caso \(A:C[a,b]\to C[a,b]\), infatti \( \int_a^y\frac{(x-a)^{n-1}}{(n-1)!}dx\xrightarrow{n\to\infty} 0\) che già mi hai aiutato a risolvere proprio tu...
Tuttavia trovo per nulla semplice dimostrare la contrazione e la maggiorazione di \(|K_n(s,t)|\) di p. 471, che non mi stupirei se fossero correlate in maniera essenzialmente utile alla dimostrazione della contrazione, un po' come nella dimostrazione del caso \(A:C[a,b]\to C[a,b]\), infatti \( \int_a^y\frac{(x-a)^{n-1}}{(n-1)!}dx\xrightarrow{n\to\infty} 0\) che già mi hai aiutato a risolvere proprio tu...
Non è quella la disuguaglianza che dicevo io ma la tua va meglio, dà una stima più precisa. Resta naturalmente il nocciolo della questione, che però abbiamo già risolto nell'altro topic mi pare. Sono gli stessi conti.
"dissonance":Se avessi tempo e voglia di scrivere i passaggi te ne sarei veramente grato, perché, nonostante ci abbia esaurito il block notes, non saprei come maneggiare quell'ultimo integrale, né per dimostrare la contrazione né per la maggiorazione di $K_n$, che, se si può agire come nel caso \(C[a,b]\), dà quella bella maggiorazione con \(\frac{y^n}{n!}\to 0\)... Probabilmente è una banalità e mi sto perdendo in un bicchier d'acqua...
Sono gli stessi conti.
Il primo step è sicuramente il seguente. Mettiamoci nell'intervallo [0,1] e scordiamoci di \(f\). Applicando due volte \(A\) si ottiene grazie a Fubini
\[ A^2 \psi=\int_0^x \psi(x'')\left(\int_{x''}^x K(x', x'')\,dx' \right)\, dx''.\]
In generale il nucleo della \(n\)-esima iterazione di \(A\) si ottiene integrando il nucleo dell'iterazione precedente:
\[
K_n(x, x'')= \int_{x''}^x K_{n-1}(x', x'')\,dx'.\]
Ora si tratta di procedere induttivamente. Vedi un po' se ne cavi qualcosa
\[ A^2 \psi=\int_0^x \psi(x'')\left(\int_{x''}^x K(x', x'')\,dx' \right)\, dx''.\]
In generale il nucleo della \(n\)-esima iterazione di \(A\) si ottiene integrando il nucleo dell'iterazione precedente:
\[
K_n(x, x'')= \int_{x''}^x K_{n-1}(x', x'')\,dx'.\]
Ora si tratta di procedere induttivamente. Vedi un po' se ne cavi qualcosa
Non riesco a ricavarne nulla... 
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