ISTITUZIONI DI ANALISI

[matemath7890]

Salve volevo chiedere chiarimenti sugli esercizi 1 e 3 in allegato, riguardano le funzioni sommabili e le misure. Nel primo non riesco a dimostrare che le funzioni della successione sono sommabili e ad arrivare a quella formula con i residui, sono riuscito a mostrare la formula di ricorrenza ma non riesco a dare una risposta alla domanda sulla serie. Nel terzo esercizio forse ho elencato la sigma algebra ma non saprei come costruire una misura soddisfacente quelle condizioni. Grazie per l'aiuto.

[gugo82]

Esame di Greco...

Il primo esercizio è banale, almeno per quanto riguarda un paio di cose.
Per la sommabilità, ad esempio, basta constatare che il denominatore ha zeri di ordine \(1\) nei punti \(0,\ldots ,n\), così come il numeratore, pertanto la funzione \(f_n\) si estende con continuità su tali punti; inoltre, all'infinito la \(f_n\) va a zero con ordine maggiore di \(\frac{3}{2}\). Questa è Analisi I.
L'integrale coi residui si svolge alla maniera solita, cioè usando come funzione complessa ausiliaria:
\[
\phi_n(z) := \frac{e^{\imath \pi z}}{z(z-1)\cdots (z-n)}
\]
ed integrando su un circuito che è formato da un arco grande con centro \(0\) e raggio \(R>n\) nel semipiano \(\operatorname{Im} z \geq 0\), da \(n+1\) archi piccoli con centri in \(0,1,\ldots ,n\) e raggio \(\epsilon <\frac{1}{2}\) situati nello stesso semipiano, e dai segmenti dell'asse reale che chiudono neturalmente il percorso. Ovviamente, vanno usati i lemmi di Jordan, proprio come nel calcolo dell'integrale di \(\frac{\sin x}{x}\).
La formula di ricorrenza si prova facile e fornisce il risultato dell'integrale partendo da quello di \(\frac{\sin x}{x}\).
La convergenza assoluta della serie pure viene semplice (quanto velocemente vanno a zero gli addendi per fissato \(x\)? cosa succede nei punti di discontinuità eliminabile?).
Il problema della convergenza della serie delle norme \(\sum \|f_n\|_1\) non l'ho ancora attaccato, ma se tutto funziona la convegrenza di questa serie numerica ti dovrebbe assicurare anche la convergenza in norma della serie di funzioni e la possibilità di passare al limite sotto il segno d'integrale (cfr. questo esercizio)... Ma ci si deve pensare.

Per quanto riguarda il terzo esercizio, la \(\sigma\)-algebra \(\mathcal{M}\) si può costruire "a mano", dato che il sostegno dello spazio di misura è ragionevolmente "piccolo". Una volta costruita la \(\mathcal{M}\) credo che il resto segua facilmente.

Prova un po'.


P.S.: Greco mette nei testi d'esame esercizi carini, per i quali servirebbe un po' più di tempo che le due ore del compito.
Ne ho riciclato uno facile qui proprio in questi giorni.
Per quanto riguarda

[gugo82]

Per quel che riguarda l'esercizio 3...

1. La costruzione "a mano" della \(\sigma\)-algebra è banale.

Infatti, tenendo presenti le proprietà che caratterizzano una tale famiglia (cioè, chiusura rispetto alle unioni numerabili, rispetto al complemento e appartenenza dell'intero spazio), che \(\mathcal{F}\) vi è contenuta e che il sostegno \(X\) è finito, abbiamo:
\[\tag{1}
\{1\},\ \{2\},\ X \in \mathcal{M}\quad \Rightarrow \quad \{1,2\},\ \{2,3,4\},\ \{1,3,4\},\ \{3,4\},\ \varnothing \in \mathcal{M}
\]
dunque:
\[
\mathcal{M} = \Big\{ \varnothing,\ \{1\},\ \{2\},\ \{1,2\},\ \{3,4\},\ \{2,3,4\},\ \{1,3,4\},\ X\Big\}\; .
\]

2. Le funzioni misurabili si individuano "a occhio".

Le funzioni definite su \(X\) ed a valori complessi assumono necessariamente al più \(4\) valori, dunque sono funzioni semplici del tipo:
\[
\begin{split}
f:X &\to \mathbb{C}\\
1 &\mapsto f_1\\
2 &\mapsto f_2\\
3 &\mapsto f_3\\
4 &\mapsto f_4\; .
\end{split}
\]
Ricordando che una funzione è misurabile (nel senso di Borel) se e solo l'antiimmagine di ogni aperto \(\Omega \subseteq \mathbb{C}\) mediante \(f\) è un insieme misurabile di \(X\), possiamo distinguere i seguenti casi:

[list=1][*:2xjifibf] esiste un aperto \(\Omega_3\) che contiene \(f_3\) ma non \(f_4\): in tal caso \(f^{-1} (\Omega_3)\) contiene \(3\) ma non può essere né \(\{3,4\}\) né \(X\), dunque \(f^{-1}(\Omega_3) \notin \mathcal{M}\);

[/*:m:2xjifibf]
[*:2xjifibf] esiste un aperto \(\Omega_4\) che contiene \(f_4\) ma non \(f_3\): in tal caso \(f^{-1} (\Omega_4)\) contiene \(4\) ma non può essere né \(\{3,4\}\) né \(X\), dunque \(f^{-1}(\Omega_4) \notin \mathcal{M}\);[/*:m:2xjifibf][/list:o:2xjifibf]
in entrambi i casi la funzione \(f\) non può essere misurabile.
Dato che \(\mathbb{C}\) è uno spazio di Hausdorff, i due casi di cui sopra si presentano se e solo se \(f_3\neq f_4\); pertanto, possiamo concludere che una funzione \(f:X\to \mathbb{C}\) è \(\mathcal{M}\)-misurabile se e solo se essa soddisfa la condizione:
\[
\tag{2}
f(3) = f(4).
\]

3. Costruiamo "a mano" la misura \(\mu\) di cui nel testo.

Abbiamo \(\mu \Big( \{1\}\Big) = 1 = \mu \Big( \{2\}\Big)\) e \(\mu(X) =\infty\), dunque -per proprietà additiva- deve risultare :
\[
\mu \Big( \{1,2\}\Big) = \mu \Big( \{1\}\Big) + \mu \Big( \{2\}\Big) = 2
\]
nonché:
\[
\infty = \mu (X) = \mu \Big( \{1,2\}\Big) + \mu \Big( \{3,4\}\Big) = 2 + \mu \Big( \{3,4\}\Big) \quad \Rightarrow \quad \mu \Big( \{3,4\}\Big) =\infty\; ,
\]
e dunque anche \(\mu \Big( \{1,3,4\}\Big) = \infty = \mu \Big( \{2,3,4\}\Big)\); infine, poiché esiste in \(\mathcal{M}\) almeno un insieme con misura finita, deve essere \(\mu \Big( \varnothing \Big) = 0\).
Pertanto una misura \(\mu : \mathcal{M} \to [0,\infty]\) avente le proprietà richieste è sicuramente quella definita ponendo:
\[
\tag{3}
\mu (E) := \begin{cases} 0 &\text{, se } E=\varnothing\\
1 &\text{, se } E=\{1\} \text{ oppure } E=\{2\}\\
2 &\text{, se } E=\{1,2\}\\
\infty &\text{, altrimenti.}
\end{cases}
\]
Che \(\mu\) sia unica è evidente, poiché nel processo di costruzione non si sono presentate altre possibilità di scelta.

4. Caratterizzazione delle funzioni di \(\mathcal{L}^p(\mu)\) con \(1\leq p\leq \infty\).

Scegliamo una funzione \(f:X\to \mathbb{C}\) che sia \(\mathcal{M}\)-misurabile, ossia (cfr. punto 2) che abbia \(f(3)=f(4)\), e consideriamo dapprima il caso \(p<\infty\).
Con la notazione introdotta al punto 2, per la proprietà additiva dell'integrale ed essendo \(f\) semplice abbiamo:
\[
\begin{split}
\| f\|_{p,\mu}^p &= \intop_X |f|^p\ \operatorname{d} \mu \\
&= \left(\intop_{\{1\}} + \intop_{\{2\}} + \intop_{\{3,4\}}\right) |f|^p\ \operatorname{d} \mu\\
&= |f_1|^p\cdot \mu \Big( \{1\} \Big) + |f_2|^p\cdot \mu \Big( \{2\} \Big) + |f_3|^p\cdot \mu \Big( \{3,4\}\Big)\\
&= |f_1|^p + |f_2|^p + |f_3|^p\cdot \mu \Big( \{3,4\}\Big)\; ;
\end{split}
\]
affinché la somma all'ultimo membro sia finita è necessario e sufficiente (per le convenzioni circa il prodotto in \(\widehat{\mathbb{R}}\)) che \(f\) sia nulla in \(\{ 3,4\}\), ossia che \(f_3=0\). Conseguementemente abbiamo:
\[
\tag{4}
\mathcal{L}^p (\mu) := \Big\{ f:X\to \mathbb{C}:\ f(3)=0=f(4)\Big\}\; .
\]
Infine, sia \(p=\infty\). Ricordato che una funzione \(f:X\to \mathbb{C}\) è in \(\mathcal{L}^\infty (\mu)\) se e solo se esiste qualche \(M\geq 0\) tale che:
\[
|f(x)|\leq M \text{ per q.o. } x \in X\; ,
\]
possiamo affermare che tutte le funzioni misurabili sono in \(\mathcal{L}^\infty\): infatti, posto \(M=\max \{|f_1|,|f_2|,|f_3|\}\), abbiamo \(|f(x)|\leq M\) ovunque in \(X\), sicché \(f\) è limitata e perciò essenzialmente limitata.
Quindi:
\[
\tag{5}
\mathcal{L}^\infty (\mu) = \Big\{ f:X\to \mathbb{C}:\ f(3)=f(4)\Big\}\; .
\]