Isometria di Ito
Buon pomeriggio a tutti ragazzi, sto trovando delle difficoltà nel capire alcuni passaggi matematici relativi alla dimostrazione che conduce dal momento secondo di un integrale stocastico per funzioni deterministiche all'integrale stocastico che definisce l'isometria di Ito.
Allora… Sia $ u\in C^1[0,1] $ una funzione a valori reali tale per cui $u(0)=u(1)=0$. Dato $W={W_t]_(t>=0)$ in $RR^n$ un moto Browniano, io so che il momento secondo $E[(\int_(0)^(1)u(t)dW_t)^2] $ della nostra funzione deterministica $u$ corrisponde proprio all'isometria di Ito. Ora, assumendo per ipotesi che $ \int_(0)^(1)u(t)dW_t=-\int_(0)^(1)u'(t)W_tdt $:
$E[(\int_(0)^(1)u(t)dW_t)^2]=E[(\int_(0)^(1)u(t)dW_t)(\int_(0)^(1)u(s)dW_s)] $
Per l'assunzione di cui sopra:
$E[(\int_(0)^(1)u(t)dW_t)(\int_(0)^(1)u(s)dW_s)]:=E[(-\int_(0)^(1)u'(t)W_tdt)(-\int_(0)^(1)u'(s)W_sds)]=E[\int_(0)^(1)\int_(0)^(1)u'(t)u'(s)E[W_tW_s]dtds]$
Porto fuori la costante $u'(t)$ prima dal segno di integrale e poi dal valore atteso, e faccio così anche per $u'(S)$. Poi ho pensato di applicare il teorema di Fubini-Tonelli così da portare il valore atteso all'interno del segno di integrale: $\int_(0)^(1)u'(t)(\int_(0)^(1)u'(s)E[W_tW_s]ds)dt$
A questo io so che per un MB $E[W_tW_s]=cov(W_t,W_s)=min(t,s)$. Assumiamo allora che $s
Per cominciare, a lezione il docente è passato direttamente ad uguagliare la relazione precedente a
--------------->
Non capisco proprio come abbia fatto.
Inoltre, anche sul passaggio successivo è andata spedita passando direttamente a definire l'isometria di Ito.
Ora, io ho pensato di integrare per parti dove:
- $\int_(0)^(1)su'(s)$ con $s=f(x)$,$g'(x)=u'(s)$ e $g(x)=u(s)rArr=su(s)|_(0)^(t)-\int_(0)^(t)u(s)ds= tu(t)-\int_(0)^(t)u(s)ds$
- $t\int_(t)^(1)u'(s)ds$ con $1=f(x)$,$g'(x)=u'(s)$ e $g(x)=u(s)rArr=t[u(s)|_(t)^(1)-\int_(t)^(1)0ds]= t(u(1)-u(t))=-t(u(t)$
$ \int_(0)^(1)u'(t)(tu(t)-\int_(0)^(t)u(s)ds-tu(t)))dt= \int_(0)^(1)u'(t)(-\int_(0)^(t)u(s)ds)dt$
Ma anche qui ho dubbi su come continuare… Spero davvero in una vostra mano che siete matematici di prim'ordine!!!
Grazie mille a chi vorrà aiutarmi!
Allora… Sia $ u\in C^1[0,1] $ una funzione a valori reali tale per cui $u(0)=u(1)=0$. Dato $W={W_t]_(t>=0)$ in $RR^n$ un moto Browniano, io so che il momento secondo $E[(\int_(0)^(1)u(t)dW_t)^2] $ della nostra funzione deterministica $u$ corrisponde proprio all'isometria di Ito. Ora, assumendo per ipotesi che $ \int_(0)^(1)u(t)dW_t=-\int_(0)^(1)u'(t)W_tdt $:
$E[(\int_(0)^(1)u(t)dW_t)^2]=E[(\int_(0)^(1)u(t)dW_t)(\int_(0)^(1)u(s)dW_s)] $
Per l'assunzione di cui sopra:
$E[(\int_(0)^(1)u(t)dW_t)(\int_(0)^(1)u(s)dW_s)]:=E[(-\int_(0)^(1)u'(t)W_tdt)(-\int_(0)^(1)u'(s)W_sds)]=E[\int_(0)^(1)\int_(0)^(1)u'(t)u'(s)E[W_tW_s]dtds]$
Porto fuori la costante $u'(t)$ prima dal segno di integrale e poi dal valore atteso, e faccio così anche per $u'(S)$. Poi ho pensato di applicare il teorema di Fubini-Tonelli così da portare il valore atteso all'interno del segno di integrale: $\int_(0)^(1)u'(t)(\int_(0)^(1)u'(s)E[W_tW_s]ds)dt$
A questo io so che per un MB $E[W_tW_s]=cov(W_t,W_s)=min(t,s)$. Assumiamo allora che $s
Per cominciare, a lezione il docente è passato direttamente ad uguagliare la relazione precedente a
--------------->
$ \int_(0)^(1)u'(t)(int_(0)^(t)su'(s)ds+t\int_(t)^(1)u'(s)ds)dt $
Non capisco proprio come abbia fatto.
Inoltre, anche sul passaggio successivo è andata spedita passando direttamente a definire l'isometria di Ito.
Ora, io ho pensato di integrare per parti dove:
- $\int_(0)^(1)su'(s)$ con $s=f(x)$,$g'(x)=u'(s)$ e $g(x)=u(s)rArr=su(s)|_(0)^(t)-\int_(0)^(t)u(s)ds= tu(t)-\int_(0)^(t)u(s)ds$
- $t\int_(t)^(1)u'(s)ds$ con $1=f(x)$,$g'(x)=u'(s)$ e $g(x)=u(s)rArr=t[u(s)|_(t)^(1)-\int_(t)^(1)0ds]= t(u(1)-u(t))=-t(u(t)$
$ \int_(0)^(1)u'(t)(tu(t)-\int_(0)^(t)u(s)ds-tu(t)))dt= \int_(0)^(1)u'(t)(-\int_(0)^(t)u(s)ds)dt$
Ma anche qui ho dubbi su come continuare… Spero davvero in una vostra mano che siete matematici di prim'ordine!!!
Grazie mille a chi vorrà aiutarmi!
Risposte
Non riesco proprio a capire per quale motivo $ \int_(0)^(1)u'(t)(-\int_(0)^(t)u(s)ds)dt = \int_(0)^(1)u^2(t)dt $...
Qualche suggerimento?
Qualche suggerimento?
Integrazione per parti di sicuro.
"dissonance":
Integrazione per parti di sicuro.
Certo, questo si! Ma non ho proprio che faccia ad ottenere $u^2$!
In più mi manca quel passaggio che, evidentemente, è fondamentale (indicato con la freccia). Hai qualche suggerimento in merito?
Beh senti non lo so, però definendo
\[
U(t):=\int_0^t u(s)\, ds, \]
allora ovviamente (ATTENZIONE: qui c'è un errore di battitura, vedi post successivo mio)
\[
-\int_0^1 u' U\, dt = \int_0^1 u^2\, dt +u'(1)\int_0^1 u(s)\, ds.\]
Sicuramente ci sarà qualche motivo per cui il secondo addendo nel membro destro si annulla. Spero ti possa essere utile
\[
U(t):=\int_0^t u(s)\, ds, \]
allora ovviamente (ATTENZIONE: qui c'è un errore di battitura, vedi post successivo mio)
\[
-\int_0^1 u' U\, dt = \int_0^1 u^2\, dt +u'(1)\int_0^1 u(s)\, ds.\]
Sicuramente ci sarà qualche motivo per cui il secondo addendo nel membro destro si annulla. Spero ti possa essere utile
"dissonance":
Beh senti non lo so, però definendo
\[
U(t):=\int_0^t u(s)\, ds, \]
allora ovviamente
\[
-\int_0^1 u' U\, dt = \int_0^1 u^2\, dt +u'(1)\int_0^1 u(s)\, ds.\]
Sicuramente ci sarà qualche motivo per cui il secondo addendo nel membro destro si annulla. Spero ti possa essere utile
Ciao dissonance, innanzitutto grazie per la risposta.
Si, potrebbe essere la soluzione in effetti. Suppongo che il secondo membro si annulla perchè se per definizione $u(1)=0rArru'(1)=0$, anche se non ne sono sicuro.
Comunque provando a replicare il calcolo che hai fatto tu non riesco ad ottenere lo stesso risultato... Io ho fatto:
$ -\int_(0)^(1)u'(t)u(t)dt $ con $f(x)=1$, $g'(x)=u'(t)$ e $g(x)=u(t)$. Allora:
$ -[(u(t)u(t))|_(0)^(1)-\int_(0)^(1)u'(t)u(s)ds]=-[(u^2(t))|_(0)^(1)-u'(1)\int_(0)^(1)u(s)ds)] $
Quindi in parentesi mi rimane $u^2$ più l'integrale stocastico. Ora come devo utilizzare la definizione che mi hai indicato per riportare quell'$u^2$ sotto forma di integrale? Inoltre mi rimane un meno fuori da parentesi che mi renderebbe l'integrale negativo...
Uuh che fesso che sono, c'è un typo nel mio post precedente. La formula corretta è
\[
-\int_0^1u'U=uU\big|_0^1+\int_0^1uU'=\int_0^1u^2.\]
Il pezzo \(uU|_0^1\) si annulla perché \(u(0)=u(1)=0\).
\[
-\int_0^1u'U=uU\big|_0^1+\int_0^1uU'=\int_0^1u^2.\]
Il pezzo \(uU|_0^1\) si annulla perché \(u(0)=u(1)=0\).
Ci sono! Grazie mille geniaccio! 
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