Ipotesi di esistenza del prodotto scalare tra funzioni

[S.P6]

Saluto tutti coloro che leggeranno questo post, e ringrazio in anticipo per eventuali dritte o meno.
Se considero il prodotto scalare tra due funzioni su di un dominio limitato è lecita la sola ipotesi di sommabilità delle funzioni integrande ai fini dell'esistenza del termine integrale. Ho abozzato una dimostrazione attraverso il teorema della media apparentemente valida. Il mio dubbio sorge in quanto se cosi fosse io avrei una funzione non a quadrato integrabile su un dominio limitato( sottolineo limitato) il cui quadrato è integrabile se essa è sommabile. Questo risultato potrei interpretarlo dicendo che se una funzione in un dominio limitato non è a quadrato integrabile allora necessariamente non puo essere sommabile, il che nn mi suona tanto male. Spero in una eventuale risposta, e mi scuso per la poka chiarezza. La scrittura il Latek mi avrebbe chiesto trp tempo.

[Camillo]

Sposto in Analisi .Nel futuro fai più attenzione a postare nella sezione corretta.
Non usare la scrittura tipo sms.

[gugo82]

"S.P":Se considero il prodotto scalare tra due funzioni su di un dominio limitato è lecita la sola ipotesi di sommabilità delle funzioni integrande ai fini dell'esistenza del termine integrale.

In generale no.

Ad esempio, le funzioni \(f(x) := 1/\sqrt{x}\) e \(g(x):=1/\sqrt[3]{x^2}\) sono sommabili in \(]0,1[\), e però non esiste il prodotto scalare \(\langle f,g\rangle := \int_0^1 \frac{1}{x\ \sqrt[6]{x}}\ \text{d} x\).

"S.P":Ho abozzato una dimostrazione attraverso il teorema della media apparentemente valida.

Molto probabilmente sarà valida sotto alcune ipotesi restrittive che non vedi.

"S.P":Il mio dubbio sorge in quanto se cosi fosse io avrei una funzione non a quadrato integrabile su un dominio limitato( sottolineo limitato) il cui quadrato è integrabile se essa è sommabile.

Ciò è falso.
Basta notare che la \(f\) precedente è sommabile, ma \(f^2\) non lo è.

In generale, però vale il viceversa: se il dominio base è limitato (o, più in generale, se ha misura finita), allora ogni funzione a quadrato sommabile è sommabile. Infatti se \(u:D\to \mathbb{R}\) è a quadrato sommabile in \(D\), si ha:
\[
\int_D |u(x)|\ \text{d} x \stackrel{\text{C-S}}{\leq} \sqrt{\int_D 1^2\ \text{d} x}\ \sqrt{\int_D u^2 (x)\ \text{d} x} = \sqrt{m(D)}\ \sqrt{\int_D f^2 (x)\ \text{d} x}<+\infty
\]
ove si è usata la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz ed \(m(D)\) è la misura del dominio \(D\); quindi \(u\) è sommabile in \(D\).

"S.P":Questo risultato potrei interpretarlo dicendo che se una funzione in un dominio limitato non è a quadrato integrabile allora necessariamente non puo essere sommabile, il che nn mi suona tanto male.

Anche questo è falso, perchè viene da un assunto falso e perché è suscettibile del controesempio di prima (sempre con \(f\)).