Ipotesi della II formula di rappresentazione di Cauchy
Sto studiando, in analisi complessa, le formule di rappresentazione di Cauchy e mi è venuto un dubbio.
Se ho una funzione olomorfa su un insieme \(\displaystyle \Omega \) e un dominio \(\displaystyle D \) interamente contenuto in \(\displaystyle \Omega \) la seconda formula di rappresentazione di Cauchy mi consente di calcolare agevolmente gli integrali curvilinei servendomi di questa relazione:
\(\displaystyle \int_{+\partial D}\frac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^n+1}d\zeta = 2\pi i \frac{f^{(n)}(z)}{n!} \; , \; z \in \stackrel{\circ}{D} \)
Le ipotesi del teorema dicono chiaramente che l'orientazione della frontiera di \(\displaystyle D \) è intesa in senso antiorario, ma ora mi trovo di fronte ad un esercizio in cui vien chiesto di calcolare un integrale curvilineo di una funzione olomorfa su un cammino orientato negativamente e cioè in senso orario. Come devo procedere in tal caso?
Se ho una funzione olomorfa su un insieme \(\displaystyle \Omega \) e un dominio \(\displaystyle D \) interamente contenuto in \(\displaystyle \Omega \) la seconda formula di rappresentazione di Cauchy mi consente di calcolare agevolmente gli integrali curvilinei servendomi di questa relazione:
\(\displaystyle \int_{+\partial D}\frac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^n+1}d\zeta = 2\pi i \frac{f^{(n)}(z)}{n!} \; , \; z \in \stackrel{\circ}{D} \)
Le ipotesi del teorema dicono chiaramente che l'orientazione della frontiera di \(\displaystyle D \) è intesa in senso antiorario, ma ora mi trovo di fronte ad un esercizio in cui vien chiesto di calcolare un integrale curvilineo di una funzione olomorfa su un cammino orientato negativamente e cioè in senso orario. Come devo procedere in tal caso?
Risposte
Puoi usare la formula e poi cambiare segno al risultato.
Perfetto!! Sospettavo che si potesse fare ma non ne avevo la certezza dato che sui miei appunti non c'è nulla che lo confermasse. Grazie mille!! 
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