Ipotesi del criterio di Leibniz
Ciao
Studiando le ipotesi del criterio di Leibniz sulle serie numeriche di segno alterno mi è venuto un dubbio.
Supponiamo di avere una serie $sum_{n=0}^{+infty}(-1)^n*a_n$ con $a_n>=0$
Se ho che è verificata la prima ipotesi di decrescenza di $a_n$, allora la seconda ipotesi ($a_n$ infinitesima) diventa una condizione anche necessaria per la convergenza, o sbaglio? Nel senso, se in questo specifico caso la seconda ipotesi non è verificata posso dire che la serie non converge?
Studiando le ipotesi del criterio di Leibniz sulle serie numeriche di segno alterno mi è venuto un dubbio.
Supponiamo di avere una serie $sum_{n=0}^{+infty}(-1)^n*a_n$ con $a_n>=0$
Se ho che è verificata la prima ipotesi di decrescenza di $a_n$, allora la seconda ipotesi ($a_n$ infinitesima) diventa una condizione anche necessaria per la convergenza, o sbaglio? Nel senso, se in questo specifico caso la seconda ipotesi non è verificata posso dire che la serie non converge?
Risposte
Non sbagli. Infatti, \((-1)^na_n\to 0\) se e solo se \(a_n\to 0\), come hai notato.
Il fatto che $|a_n| -> 0$ è sempre necessario alla convergenza di una serie; qui, casomai, la novità è che la condizione $|a_n| -> 0$ diventa (se accoppiata alla monotònia di $(a_n)$) anche sufficiente alla convergenza.
Poi un altro dubbio:
Se $a_n$ è definitivamente positiva, ed è infinitesima, ciò non dovrebbe implicare che è definitivamente decrescente? Allora l'ipotesi di decrescenza del criterio risulterebbe superflua.
Se $a_n$ è definitivamente positiva, ed è infinitesima, ciò non dovrebbe implicare che è definitivamente decrescente? Allora l'ipotesi di decrescenza del criterio risulterebbe superflua.
Eh no;
\[
\left(\frac{\sin n}{n}\right)^2\]
è una successione positiva, infinitesima e non decrescente, neanche definitivamente.
\[
\left(\frac{\sin n}{n}\right)^2\]
è una successione positiva, infinitesima e non decrescente, neanche definitivamente.
Grazie. Come ultima cosa vorrei convincermi del fatto che la decrescenza è solo sufficiente, quindi non necessaria. Io mi immagino la successione delle somme parziali in un grafico (analogo a quello per le funzioni), e non vedo come possa convergere se i "salti" non si "riducono" in modulo.
Usa come addendi la successione suggerita da dissonance.
Un esempio ancora più estremo:
\[
(a_n)_{n=0}^\infty=\left(1, 0, \frac12, 0, \frac13, 0, \frac14, 0, \frac15, 0,\ldots\right).\]
Questa successione è non-negativa e non è decrescente. Se formiamo la somma alternata
\[
S=\sum_{n=1}^\infty (-1)^na_n, \]
otteniamo
\[S=-1+0-\frac12+0-\frac13+0-\frac14+0-\ldots,\]
ovvero
\[
S=-\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k}=-\infty.\]
---
COMMENTO MIO: (non lo considerare se ti fa confondere) se fai un teorema con le serie a segni alterni, è chiaro che ci deve essere una ipotesi sulla decrescenza di \(a_n\). Altrimenti non hai nulla che ti permetta di comparare la parte positiva e la parte negativa della somma parziale \(S_N\), ed è proprio quello il punto fondamentale della dimostrazione del criterio di Leibniz.
\[
(a_n)_{n=0}^\infty=\left(1, 0, \frac12, 0, \frac13, 0, \frac14, 0, \frac15, 0,\ldots\right).\]
Questa successione è non-negativa e non è decrescente. Se formiamo la somma alternata
\[
S=\sum_{n=1}^\infty (-1)^na_n, \]
otteniamo
\[S=-1+0-\frac12+0-\frac13+0-\frac14+0-\ldots,\]
ovvero
\[
S=-\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k}=-\infty.\]
---
COMMENTO MIO: (non lo considerare se ti fa confondere) se fai un teorema con le serie a segni alterni, è chiaro che ci deve essere una ipotesi sulla decrescenza di \(a_n\). Altrimenti non hai nulla che ti permetta di comparare la parte positiva e la parte negativa della somma parziale \(S_N\), ed è proprio quello il punto fondamentale della dimostrazione del criterio di Leibniz.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo