Iperpiano non intersecante insieme convesso
Ciao, amici! Se $R$ è uno spazio lineare normato contenente il sottoinsieme aperto convesso $Q$ e il punto $x_0\notin Q$, vorrei dimostrare che esiste un iperpiano passante per $x_0$ che ha intersezione vuota con $Q$.
Si tratta di un esercizio del terzo capitolo degli Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale di Kolmogorov e Fomin.
So che ogni funzionale lineare $f:R\to K$, con \(K=\mathbb{C}\) o \( K=\mathbb{R}\), ha nucleo di codimensione 1 e per ogni sottospazio vettoriale di questa codimensione si può trovare un funzionale che lo abbia per nucleo, per cui cercherei un iperpiano della forma \(x_0+\ker f\), ma non saprei come fare in modo che \(Q\cap (x_0+\ker f)=\emptyset\)...
$\infty$ grazie a tutti per ogni aiuto!!!
Si tratta di un esercizio del terzo capitolo degli Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale di Kolmogorov e Fomin.
So che ogni funzionale lineare $f:R\to K$, con \(K=\mathbb{C}\) o \( K=\mathbb{R}\), ha nucleo di codimensione 1 e per ogni sottospazio vettoriale di questa codimensione si può trovare un funzionale che lo abbia per nucleo, per cui cercherei un iperpiano della forma \(x_0+\ker f\), ma non saprei come fare in modo che \(Q\cap (x_0+\ker f)=\emptyset\)...
$\infty$ grazie a tutti per ogni aiuto!!!
Risposte
Ti vomito addosso un'idea (non ho letto nemmeno attentamente il testo dell'esercizio, quindi la probabilità che mi sbagli è elevata): alle parole "iperpiano" e "convesso" mi è venuto in mente il teorema di Hahn-Banach (forma geometrica).
Mi sa che hai ragione: $\infty$ grazie!!! Anche se al punto dove sono il Kolmogorov-Fomin non ha ancora enunciato la forma geometrica del teorema di Hahn-Banach, ho trovato questo lemma 3.9 che, anche se il testo on line non lo dimostra, mi ha fornito uno spunto.
Usando la versione reale del teorema di Hahn-Banach che ho studiato sul Kolmogorov-Fomin, che coincide con il teorema 3.1 qui, sono riuscito a fare qualche tentativo, che oso esporre qui, sperando di essere corretto se le ho sparate grosse.
Direi che, scelto un qualunque $q_0\in Q$, $Q-q_0$ è anch'esso convesso, contiene il vettore nullo ed è aperto -quindi ha nucleo non vuoto perché \(\text{Int}(Q-q_0)\subset J(Q-q_0)\) dove $J$ è il nucleo, interior, e si può applicare quanto dicono Kolmogorov e Fomin in questo teorema 3-, per cui il funzionale di Minkowski per $Q-q_0$ è tale che \(Q-q_0=\{x\in R:p(x)\leq 1\}\). Inoltre mi sembrerebbe che $Q-q_0$ coincida con il proprio nucleo \(J(Q-q_0)=\{x\in R:p(x)<1\}\) perché \(J(Q-q_0)\subset Q-q_0\) e \(Q-q_0=\text{Int}(Q-q_0)\subset J(Q-q_0)\), per cui \(\forall x\notin Q-q_0\quad p(x)>1\).
Nel sottospazio \(\langle x_0-q_0\rangle\subset R\) possiamo definire un funzionale lineare \(g:x=\alpha(x_0-q_0)\mapsto\alpha p(x_0-q_0)\), che per quanto detto sopra è tale che \(g(x_0-q_0)=p(x_0-q_0)>1\) ed ovviamente \(\forall x\in\langle x_0-q_0\rangle\quad g(x)= p(x)\) per l'omogeneità del funzionale di Minkowski.
Il teorema di Hahn-Banach ci permette quindi di prolungare $g$ ad un funzionale lineare \(f:R\mapsto\mathbb{R}\) tale che \(\forall x\in \langle x_0-q_0\rangle\quad f(x)=g(x)\) e \(\forall x\in R\quad f(x)\leq p(x)\). Quindi \(\forall x\in Q-q_0 \quad f(x)\leq p(x)<1
Usando la versione reale del teorema di Hahn-Banach che ho studiato sul Kolmogorov-Fomin, che coincide con il teorema 3.1 qui, sono riuscito a fare qualche tentativo, che oso esporre qui, sperando di essere corretto se le ho sparate grosse.
Direi che, scelto un qualunque $q_0\in Q$, $Q-q_0$ è anch'esso convesso, contiene il vettore nullo ed è aperto -quindi ha nucleo non vuoto perché \(\text{Int}(Q-q_0)\subset J(Q-q_0)\) dove $J$ è il nucleo, interior, e si può applicare quanto dicono Kolmogorov e Fomin in questo teorema 3-, per cui il funzionale di Minkowski per $Q-q_0$ è tale che \(Q-q_0=\{x\in R:p(x)\leq 1\}\). Inoltre mi sembrerebbe che $Q-q_0$ coincida con il proprio nucleo \(J(Q-q_0)=\{x\in R:p(x)<1\}\) perché \(J(Q-q_0)\subset Q-q_0\) e \(Q-q_0=\text{Int}(Q-q_0)\subset J(Q-q_0)\), per cui \(\forall x\notin Q-q_0\quad p(x)>1\).
Nel sottospazio \(\langle x_0-q_0\rangle\subset R\) possiamo definire un funzionale lineare \(g:x=\alpha(x_0-q_0)\mapsto\alpha p(x_0-q_0)\), che per quanto detto sopra è tale che \(g(x_0-q_0)=p(x_0-q_0)>1\) ed ovviamente \(\forall x\in\langle x_0-q_0\rangle\quad g(x)= p(x)\) per l'omogeneità del funzionale di Minkowski.
Il teorema di Hahn-Banach ci permette quindi di prolungare $g$ ad un funzionale lineare \(f:R\mapsto\mathbb{R}\) tale che \(\forall x\in \langle x_0-q_0\rangle\quad f(x)=g(x)\) e \(\forall x\in R\quad f(x)\leq p(x)\). Quindi \(\forall x\in Q-q_0 \quad f(x)\leq p(x)<1
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