Invertibilità globale
Salve. Riporto l'enunciato del teorema di inveritibilità globale
Un passaggio della dimostrazione è proprio quello di verificare che f(D) è connesso. Ma perché non è ovvio, essendo D connesso e f continua?
Sia A un aperto di $RR^n$ e $f:A->RR^n$ di classe $C^1$. Sia $DsubsetA$ un dominio limitato connesso e supponiamo che $J_(f)(x)!=0$ per ogni x in D. Se f subordina una corrispondenza biunivoca tra $deltaD$ e $deltaf(D)$ allora f(D) è un dominio limitato connesso e f è globalmente invertibile in D.
Un passaggio della dimostrazione è proprio quello di verificare che f(D) è connesso. Ma perché non è ovvio, essendo D connesso e f continua?
Risposte
Si è ovvio, ma dove l'hai visto questo enunciato?
Sul Marcellini Sbordone, oltre che sui miei appunti. Posto $T=f(D)$ prova che $Int(T)$ è connesso per dimostrare che T è un dominio connesso. Anche questo passaggio (dimostrare la connessione della parte interna anziché di tutto l'insieme) non me lo sono spiegato, ma penso sia legato al motivo per cui c'è bisogno di provare che T è connesso.
Non mi torna troppo che sia vero 
"_ester_":
Sul Marcellini Sbordone, oltre che sui miei appunti. Posto $T=f(D)$ prova che $Int(T)$ è connesso per dimostrare che T è un dominio connesso. Anche questo passaggio (dimostrare la connessione della parte interna anziché di tutto l'insieme) non me lo sono spiegato, ma penso sia legato al motivo per cui c'è bisogno di provare che T è connesso.
Si spiega con le definizioni date di dominio e di dominio connesso da Marcellini-Sbordone:
Un dominio di $\mathbb{R^n}$ è la chiusura di un insieme aperto.
Un dominio si dice connesso se è la chiusura di un aperto connesso.
(nella mia edizione stanno a pag. 122-123, ma comunque è il paragrafo Richiami di topologia in $\mathbb{R^n}$.)
Quindi, per definizione, per dimostare che tutto $T$ è connesso deve dimostrare che l'interno di $T$ è connesso.
"gabriella127":
Si spiega con le definizioni date di dominio e di dominio connesso da Marcellini-Sbordone:
Un dominio di $\mathbb{R^n}$ è la chiusura di un insieme aperto.
Un dominio si dice connesso se è la chiusura di un aperto connesso.
grazie!!!
mi rimane ancora il dubbio sul perché ci sia bisogno di dimostrare che T è connesso. stavo notando però che in quel paragrafo introduttivo non viene citato il fatto che la connessione è una proprietà topologica, quindi forse non può usare il risultato nel teorema?
Figurat! 
Perché è la tesi del teorema!
Copio dall'enunciato del teorema di invertibilità globale:
...allora anche $T$ è un dominio limitato e connesso e $f$ è (globalmente) invertibile in $D$.
Non ho però letto la dimostrazione per intero, non so se usa il fatto che $T$ è limitato e connesso per dimostare la invertibilità globale.
Perché dici che la connessione per Marcellini-Sbordone non sarebbe una proprietà topologica? La definizione di connessione sta nel paragrafo 'Topologia di $\mathbb{R^n}$'.
"_ester_":
mi rimane ancora il dubbio sul perché ci sia bisogno di dimostrare che T è connesso.
Perché è la tesi del teorema!
Copio dall'enunciato del teorema di invertibilità globale:
...allora anche $T$ è un dominio limitato e connesso e $f$ è (globalmente) invertibile in $D$.
Non ho però letto la dimostrazione per intero, non so se usa il fatto che $T$ è limitato e connesso per dimostare la invertibilità globale.
Perché dici che la connessione per Marcellini-Sbordone non sarebbe una proprietà topologica? La definizione di connessione sta nel paragrafo 'Topologia di $\mathbb{R^n}$'.
Infatti non si capiva dal mio precedente messaggio. La connessione di T è effettivamente utile alla dimostrazione della tesi, ma non capisco perché questo fatto non segue immediatamente dal fatto che f è continua e D è connesso.
No, volevo dire che nei cenni di topologia del Marcellini Sbordone non compare il fatto che la connessione viene preservata da funzioni continue. Quindi ho supposto che questo risultato non venga applicato direttamente nel teorema di invertibilità semplicemente perché non viene citato precedentemente. Ma non so se è così
"gabriella127":
Perché dici che la connessione per Marcellini-Sbordone non sarebbe una proprietà topologica? La definizione di connessione sta nel paragrafo 'Topologia di $\mathbb{R^n}$'.
No, volevo dire che nei cenni di topologia del Marcellini Sbordone non compare il fatto che la connessione viene preservata da funzioni continue. Quindi ho supposto che questo risultato non venga applicato direttamente nel teorema di invertibilità semplicemente perché non viene citato precedentemente. Ma non so se è così
Ah sì, ora ho capito che intendi.
In effetti è plausibile che fa la dimostrazione senza dare per noto il fatto che la connessione si preserva per funzioni continue.
In effetti è plausibile che fa la dimostrazione senza dare per noto il fatto che la connessione si preserva per funzioni continue.
grazie ancora per la disponibilità.
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