Invertibilita' funzione

[Hunho]

come faccio a verificare che una funzione $f(x)=x^5-2$ sia invertibile in un determinato intervallo?

devo verificare che sia iniettiva e surgettiva, ok, ma come faccio nella pratica?

[maurer]

In generale, con un po' di fantasia.
In particolare, cioè in questo dato esempio, puoi far vedere che la funzione è strettamente crescente, ossia che [tex]x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)[/tex]. Questo implicherebbe l'iniettività.
Poi potresti osservare che [tex]\lim_{x\to+\infty}f(x) = +\infty[/tex] e che [tex]\lim_{x\to-\infty}f(x) = -\infty[/tex]. Questo, per il teorema dei valori intermedi, implicherebbe la suriettività.
Segui questi ragionamenti?

[Hunho]

non ho presente il teorema dei valori intermedi; cerco subito e vedo di che si tratta

ma non c'e' un modo per verificare iniettivita' e surgettivita', in modo da avere una formula generale per determinare se una funzione sia invertibile o meno?

[maurer]

No, non esiste un modo standard.
Effettivamente, in questo caso, il teorema dei valori intermedi è forse un po' esagerato, perché ti basta applicare la definizione di suriettività. Ma tieni presente quel teorema, in futuro: non tutte le funzioni sono semplici come questa!
In questo caso particolare, applichiamo la definizione di suriettività. Sia [tex]y \in \mathbb{R}[/tex]. Allora ci chiediamo se esiste [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] tale che [tex]x^5 - 2 = y[/tex]. Questo esiste sicuramente ed è [tex]x=(2+y)^{\frac{1}{5}[/tex], per l'esistenza della radice $n$-esima di un numero reale.

[Hunho]

quindi per $g(x)=f^-1(x)$ sarebbe $g(x)=(2+x)^(1/5)$?

e ponendo $g(-1)$ si otterrebbe $1^(1/5)$?

[Seneca1]

Veramente basta scoprire se la funzione è strettamente monotona in un certo intervallo. Se ciò avviene, allora la funzione è invertibile in quell'intervallo.

Conosci le derivate?

[Hunho]

non posso usarle, a parte questo non le conosco al momento; infatti maurer mi ha appena istruito in un altro thread su come studiare la monotonia senza le derivate

[maurer]

Sì, è corretto. Ma, tieni presente, che molto spesso si può dimostrare che la funzione inversa esiste, senza che per questo si riesca a determinarla.

[Hunho]

comunque al teorema dei valori intermedi non siamo arrivati, forse sta nel calcolo differenziale, non so

[maurer]

Sì, è un risultato classico...
Ma stai seguendo un corso di Analisi 1?

[Hunho]

esattamente

[Seneca1]

"Hunho":comunque al teorema dei valori intermedi non siamo arrivati, forse sta nel calcolo differenziale, non so

Qualche testo lo chiama teorema di Darboux. Esiste sia un teorema dei valori intermedi per le funzioni continue (che è, credo, quello a cui faceva riferimento maurer) sia un teorema analogo per le funzioni derivabili.


Quello per le funzioni continue si può enunciare schematicamente così:

$f: D -> RR$

Ipotesi: $f$ è continua nell'intervallo $[a,b]$

Tesi: $f$ assume tutti i valori compresi tra il massimo e il minimo in $[a,b]$