Invertibilità funzione

[MyMaster]

Salve a tutti, chiedo un aiuto per questo quesito :
Sia $ f(x) = xlnx $. E' vero che f è invertibile in un intorno di x = e ed $ (f^-1)'(e) = 1/2 $.

Allora premesso che una funzione è invertibile quando essa è biettiva, non mi è chiaro come capire dalla funzione stessa se è iniettiva o meno, inoltre non so bene come capire se è invertibile su un intorno specifico. Io ho provato a ragionare partendo dalla definizione di iniettività, ma il fatto è che il discorso è troppo generale per poter essere applicato ad un quesito di questo tipo

[gugo82]

La funzione è continua, quindi puoi ragionare sulle condizioni di invertibilità delle funzioni continue.
Quando una funzione continua è invertibile?

[MyMaster]

"gugo82":Quando una funzione continua è invertibile?

Mi viene da pensare ad un teorema visto a lezione secondo il quale una funzione monotona è invertibile, ma non dice nulla circa la continuità.
Provando a ragionare mi viene da pensare che una funzione è invertibile quando esiste $ lim_(x -> x0) f(x) = f(x0) $

[gugo82]

"MyMaster":[quote="gugo82"]Quando una funzione continua è invertibile?

Mi viene da pensare ad un teorema visto a lezione secondo il quale una funzione monotona è invertibile, ma non dice nulla circa la continuità.[/quote]
Appunto…

Una funzione continua in un intervallo è invertibile se e solo se essa è strettamente monotona.

"MyMaster":Provando a ragionare mi viene da pensare che una funzione è invertibile quando esiste $ lim_(x -> x0) f(x) = f(x0) $

Così anche le funzioni costanti sarebbero invertibili… Non mi sembra granché come intuizione, vero?

[MyMaster]

"gugo82":[quote="MyMaster"][quote="gugo82"]Così anche le funzioni costanti sarebbero invertibili…

[/quote][/quote]
beh effettivamente ora che ci penso non ha un granché senso quello che ho detto