Invertibilità di una funzione
Salve,
il problema in questione è quello dello studio dell'invertibilità di una funzione.
Una funzione è invertibile se strettamente monotona; si tratta quindi di studiare il segno della derivata della funzione.
La funzione di cui sto studiando l'invertibilità é:
$ x^5 + x^3 + arctan(x^2+2x+1) +20x$
La sua derivata dovrebbe essere:
$ 5x^4 + 3x^2 + (2x+2)/(1+(x^2+2x+1)^2) + 20$
L'espressione $5x^4+3x^2+20$ è senz'altro maggiore di zero, per ogni x reale.
Resta da studiare $(2x+2)/(1+(x^2+2x+1)^2)$.
Io ho ragionato così:
l'espressione è sicuramente minore di 2x+2 ed inoltre il denominatore è maggiore di zero, quindi posso accontentarmi di studiare questa espressione al variare di x.
Passo allo studio di 2x+2:
Per x>=1 l'espressione è positiva e non mi reca problemi.
Per |x|<1 l'espressione è compresa tra 0 e 2, quindi non mi reca neanche in questo caso problemi.
Per x<=-1 l'espressione assume anche valori negativi; pertanto occorre un confronto grafico con il resto della derivata. Per far questo considero il termine di grado maggiore $x^4$. Dal grafico si nota che $x^4$ domina l'espressione $2x+2$ per ogni x<=-1.
Da ciò ne concludo che la derivata è strettamente positiva, quindi la funzione è strettamente crescente, pertanto è invertibile.
Giusto o sbagliato?
Grazie mille
Ciao
Enea
il problema in questione è quello dello studio dell'invertibilità di una funzione.
Una funzione è invertibile se strettamente monotona; si tratta quindi di studiare il segno della derivata della funzione.
La funzione di cui sto studiando l'invertibilità é:
$ x^5 + x^3 + arctan(x^2+2x+1) +20x$
La sua derivata dovrebbe essere:
$ 5x^4 + 3x^2 + (2x+2)/(1+(x^2+2x+1)^2) + 20$
L'espressione $5x^4+3x^2+20$ è senz'altro maggiore di zero, per ogni x reale.
Resta da studiare $(2x+2)/(1+(x^2+2x+1)^2)$.
Io ho ragionato così:
l'espressione è sicuramente minore di 2x+2 ed inoltre il denominatore è maggiore di zero, quindi posso accontentarmi di studiare questa espressione al variare di x.
Passo allo studio di 2x+2:
Per x>=1 l'espressione è positiva e non mi reca problemi.
Per |x|<1 l'espressione è compresa tra 0 e 2, quindi non mi reca neanche in questo caso problemi.
Per x<=-1 l'espressione assume anche valori negativi; pertanto occorre un confronto grafico con il resto della derivata. Per far questo considero il termine di grado maggiore $x^4$. Dal grafico si nota che $x^4$ domina l'espressione $2x+2$ per ogni x<=-1.
Da ciò ne concludo che la derivata è strettamente positiva, quindi la funzione è strettamente crescente, pertanto è invertibile.
Giusto o sbagliato?
Grazie mille
Ciao
Enea
Risposte
"Enea":
Salve,
il problema in questione è quello dello studio dell'invertibilità di una funzione.
Una funzione è invertibile se strettamente monotona; si tratta quindi di studiare il segno della derivata della funzione.
La funzione di cui sto studiando l'invertibilità é:
$ x^5 + x^3 + arctan(x^2+2x+1) +20x$
La sua derivata dovrebbe essere:
$ 5x^4 + 3x^2 + (2x+2)/(1+(x^2+2x+1)) + 20$
Enea
Ha sbagliato a calcolare già la derivata! Infatti la derivata prima della funzione proposta è $5x^4+3x^2+20+(2(x+1))/(x^4+4x^3+6x^2+4x+2)$
Ah, ok!
Come ha fatto? Io ho considerato la derivata dell'arcotangente come $1/(1+x^2)$ e da lì ho sostituito ad $x^2$ l'argomento della tangente, e ho poi moltiplicato per la derivata dell'argomento.
Grazie
Ciao
Enea
Come ha fatto? Io ho considerato la derivata dell'arcotangente come $1/(1+x^2)$ e da lì ho sostituito ad $x^2$ l'argomento della tangente, e ho poi moltiplicato per la derivata dell'argomento.
Grazie
Ciao
Enea
$del/(del x) arctan(x^2+2x+1)=del/(del x) arctan((x+1)^2)$
In generale si ha: $del/(del x) arctan(f(x))=(del/(del x) f(x))/(f^2(x)+1)$
Quindi per la funzione proposta si ha:
$(del/(del x) (x+1)^2)/((x+1)^4+1)=(2(x+1))/((x+1)^4+1)$
In generale si ha: $del/(del x) arctan(f(x))=(del/(del x) f(x))/(f^2(x)+1)$
Quindi per la funzione proposta si ha:
$(del/(del x) (x+1)^2)/((x+1)^4+1)=(2(x+1))/((x+1)^4+1)$
Si, leonardo, ti chiedo scusa, sul foglio ho fatto proprio come dici tu, ho dimenticato di elevare al quadrato quando ho postato.
Comunque, il resto dell'esercizio come è fatto?
Grazie mille ancora
Ciao
Enea
Comunque, il resto dell'esercizio come è fatto?
Grazie mille ancora
Ciao
Enea
Credo che il ragionamento che hai fatto va bene, basta adattarlo alla "nuova" derivata!
Ciao!
Ciao!
"Enea":
La funzione di cui sto studiando l'invertibilità é: $ x^5 + x^3 + arctan(x^2+2x+1) +20x$
Scusate se m'intrometto fra di voi signori. Sia $f: R --> R: x --> x^5 + x^3 + 20x + arctg((x+1)^2)$. Poiché $f$ è di classe $C^1$, per dimostrarne l'invertibilità (come del resto appuntato dallo stesso Enea), è sufficiente provare che $f(x) > 0$, per ogni $x \in R$. Ebbene, qualunque sia $x \in R$ (mi aiuto coi conti già svolti da leonardo): $f'(x) = 5x^4 + 3x^2 + 20 + 2(x+1)/(1+(x+1)^4) \ge 20 - 2*max{t/(1+t^4): t \in [0, +\infty[}$. Ed è facile constatare che la funzione $g: [0, +\infty[ --> R: t --> t/(1+t^4)$ raggiunge il suo massimo per $t = 3^{-1/4}$, e che $g(3^{-1/4}) < 1$. Pertanto $f'(x) > 0$, per ogni $x \in R$, i.e. $f$ è monotona (strettamente) crescente (e come tale invertibile) sull'intero suo dominio.
@ leonardo: il ragionamento era già posto sulla nuova derivata, perchè ho visto quello che avevo fatto sul foglio dove la derivata calcolata era giusta!
@ HiTLeuLeR: grazie anche per il tuo intervento. Allora, vediamo se ho capito. Quando devo calcolare l'invertibilità di una funzione e ho di mezzo funzioni razionali fratte, monomi di grado dispari, funzioni trigonometriche, esponenziali, logaritmiche etc. etc. etc., è sufficiente calcolarne il valore minimo e minorare l'espressione della derivata con quella che ottengo sostituendo a queste espressioni il loro massimo?
Mi spiego meglio. Supponiamo che:
$ f'(x) = x^4+sinx+20+x^3/(x^2-1)$
Posso ragionare come segue?
$ x^4+sinx+20+x^3/(x^2-1)>x^4-1+20+min(g(x)) $ con $g(x)=x^3/(x^2-1)$
E quindi studiare il segno di questa nuova espressione ottenuta?
Grazie
Ciao
Enea
@ HiTLeuLeR: grazie anche per il tuo intervento. Allora, vediamo se ho capito. Quando devo calcolare l'invertibilità di una funzione e ho di mezzo funzioni razionali fratte, monomi di grado dispari, funzioni trigonometriche, esponenziali, logaritmiche etc. etc. etc., è sufficiente calcolarne il valore minimo e minorare l'espressione della derivata con quella che ottengo sostituendo a queste espressioni il loro massimo?
Mi spiego meglio. Supponiamo che:
$ f'(x) = x^4+sinx+20+x^3/(x^2-1)$
Posso ragionare come segue?
$ x^4+sinx+20+x^3/(x^2-1)>x^4-1+20+min(g(x)) $ con $g(x)=x^3/(x^2-1)$
E quindi studiare il segno di questa nuova espressione ottenuta?
Grazie
Ciao
Enea
Up!
Ciao
Enea
Ciao
Enea
Esercizio simile:
stabilire se la seguente funzione è invertibile:
$ g(x)=x^5+2x^3+cos(2x+1)+13x+2x^4$
Derivando ottengo:
$g'(x)=5x^4+8x^3+6x^2-2sin(2x+1)+13$
Si ha che:
$g'(x)=5x^4+8x^3+6x^2-2sin(2x+1)+13>=5x^4+8x^3+6x^2+11$
L'espressione ottenuta la studio al variare di x in R.
Per $x>=1$:
Tutti i termini sono positivi.
Per $|x|<1$:
Il valore minimo assunto da $8x^3$ è -8; il valore minimo assunto dai monomi di grado pari è 0.
Quindi:
$5x^4+8x^3+6x^2+11>=0-8+0+11>0$
Per $x<=-1$
Ecco, i problemi sono qui... devo necessariamente studiare 5x^4 +6x^2+11 e 8x^3 e disegnarle graficamente, per mostrare che la prima espressione (sempre positiva nell'intervallo considerato) domina la seconda (sempre negativa nell'intervallo considerato)?
Grazie mille
Ciao
Enea
stabilire se la seguente funzione è invertibile:
$ g(x)=x^5+2x^3+cos(2x+1)+13x+2x^4$
Derivando ottengo:
$g'(x)=5x^4+8x^3+6x^2-2sin(2x+1)+13$
Si ha che:
$g'(x)=5x^4+8x^3+6x^2-2sin(2x+1)+13>=5x^4+8x^3+6x^2+11$
L'espressione ottenuta la studio al variare di x in R.
Per $x>=1$:
Tutti i termini sono positivi.
Per $|x|<1$:
Il valore minimo assunto da $8x^3$ è -8; il valore minimo assunto dai monomi di grado pari è 0.
Quindi:
$5x^4+8x^3+6x^2+11>=0-8+0+11>0$
Per $x<=-1$
Ecco, i problemi sono qui... devo necessariamente studiare 5x^4 +6x^2+11 e 8x^3 e disegnarle graficamente, per mostrare che la prima espressione (sempre positiva nell'intervallo considerato) domina la seconda (sempre negativa nell'intervallo considerato)?
Grazie mille
Ciao
Enea
Ragazzi, per cortesia...
Up.
Ciao
Enea
Up.
Ciao
Enea
Perche' complicarsi la vita? Direi che g'(x) si puo' scrivere cosi':
$g'(x)=x^2(5x^2+8x+6)+[13-2sin(2x+1)]$
Ora l'espressione in parentesi quadra e' sicuramente positiva perche' >=11,il trinomio
in parentesi tonda e' certamente positivo in R perche' ha il discriminante negativo
ed infine x^2>=0 in R.
Complessivamente e' g'(x)>0 in R e dunque g(x) e' strettamente crescente ( sempre in R).
Il risultato e' confermato dal grafico che ne fa Derive.
Ciao.
Archimede
$g'(x)=x^2(5x^2+8x+6)+[13-2sin(2x+1)]$
Ora l'espressione in parentesi quadra e' sicuramente positiva perche' >=11,il trinomio
in parentesi tonda e' certamente positivo in R perche' ha il discriminante negativo
ed infine x^2>=0 in R.
Complessivamente e' g'(x)>0 in R e dunque g(x) e' strettamente crescente ( sempre in R).
Il risultato e' confermato dal grafico che ne fa Derive.
Ciao.
Archimede
Grazie archimede, è un ottimo modo!
Ciao
Enea
Ciao
Enea
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