Invertibilità di una funzione
Buongiorno,
riconosco che la funzione non è invertibile in tutto $mathbb (R)$ in quanto è una parabola e quindi la dovrei limitare. Ma come faccio a capire che limitazione fare?
Verificare che la funzione $f: mathbb (R) rArr mathbb (R)$ definita da $f(x)=x^2-4x+9$ non è invertibile.
Individuare opportune restrizioni di f che siano invertibili e scrivere l'espressione delle loro inverse.
riconosco che la funzione non è invertibile in tutto $mathbb (R)$ in quanto è una parabola e quindi la dovrei limitare. Ma come faccio a capire che limitazione fare?
Risposte
ciao Magma
la funzione NON è invertibile perchè non è iniettiva (ti ricordo che per essere invertibile una funzione deve essere biiettiva cioè sia iniettiva che suriettiva)... un metodo pratico per vedere dove è invertibile è vedere dove è strettamente monotona (crescente o decrescente)
la si può RENDERE invertibile restringendo i valori "permessi" della $x$ e rendendola di fatto iniettiva.... per la suriettività è più semplice basta restringere il codominio all'immagine del dominio
trova il vertice della parabola... da li a destra (o a sinistra a tua scelta) è invertibile... perchè è iniettiva (o strettamente monotona)
esprimere la inversa può sembrare complicato ma basta pensare alla $y$ come se fosse un parametro
$x^2-4x+(9-y)=0$
risolvi e ottieni le soluzioni
$x=2+-sqrt(y-5)$
quindi la espressione della inversa (prendendo solo il ramo positivo avendo tu considerato di invertirla a destra del vertice) avrai
$y=2+sqrt(x-5)$
qui su matematicamente l'argomento è già stato trattato in parecchi post
ciao!!
la funzione NON è invertibile perchè non è iniettiva (ti ricordo che per essere invertibile una funzione deve essere biiettiva cioè sia iniettiva che suriettiva)... un metodo pratico per vedere dove è invertibile è vedere dove è strettamente monotona (crescente o decrescente)
la si può RENDERE invertibile restringendo i valori "permessi" della $x$ e rendendola di fatto iniettiva.... per la suriettività è più semplice basta restringere il codominio all'immagine del dominio
trova il vertice della parabola... da li a destra (o a sinistra a tua scelta) è invertibile... perchè è iniettiva (o strettamente monotona)
esprimere la inversa può sembrare complicato ma basta pensare alla $y$ come se fosse un parametro
$x^2-4x+(9-y)=0$
risolvi e ottieni le soluzioni
$x=2+-sqrt(y-5)$
quindi la espressione della inversa (prendendo solo il ramo positivo avendo tu considerato di invertirla a destra del vertice) avrai
$y=2+sqrt(x-5)$
qui su matematicamente l'argomento è già stato trattato in parecchi post
ciao!!
Ma esiste un metodo che permette di trovare il dominio di invertibilità senza dover calcolare il vertice della parabola?
Si diciamo che una funzione è invertibile solo se è una biiezione cioè se è iniettiva e suriettiva
per sapere se è iniettiva dovresti almeno disegnarla
il metodo semplice si basa sul fatto che in pratica guardi dove la funzione è strettamente monotona (crescente o decrescente) quindi anche senza disegno ne studi la derivata prima
Nel tuo caso, essendo una parabola, è ancora più semplice... guardi dove è il vertice, a sinistra decresce e a destra cresce... in entrambi gli intervalli è invertibile... ma non su tutto $RR$ ... più semplice di così
per sapere se è iniettiva dovresti almeno disegnarla
il metodo semplice si basa sul fatto che in pratica guardi dove la funzione è strettamente monotona (crescente o decrescente) quindi anche senza disegno ne studi la derivata prima
Nel tuo caso, essendo una parabola, è ancora più semplice... guardi dove è il vertice, a sinistra decresce e a destra cresce... in entrambi gli intervalli è invertibile... ma non su tutto $RR$ ... più semplice di così
"mazzarri":
il metodo semplice si basa sul fatto che in pratica guardi dove la funzione è strettamente monotona (crescente o decrescente) quindi anche senza disegno ne studi la derivata prima.
Ah okay, perfetto... domani il professore ci spiegherà le derivate... rimando a più in là questo esercizio!
Grazie mille!
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