Invertibilita di un integrale
Ciao a tutti,
sto cercando di risolvere un esercizio che mi chiede di dire se l'integrale è invertibile.
L'integrale in oggetto è:
$ int_(1)^(e^(4x-8)) root(3)(t)*arctan(t^3 ) dt $
Ora per dire se è invertibile vado a studiare la monotonia, ovvero vedere se la derivata prima è crescente/decrescente giusto?
Sapendo che G(x)= $ int_(x0)^(f(x)) g(t) $ allora G'(x)= g(f(x))*f'(x)
Eseguendo i calcoli (se non ho sbagliato) ottengo:
G'(x)= $ root(3)(e^(4x-8)) *arctan(e^(4x-8))*4e^(4x-8) $
Ora che conclusioni posso dire? Che l'esponenziale è sempre positivo e crescente, e di conseguenze lo è la derivata e quindi l'integrale è invertibile?
Oppure devo vedere se è > 0 o < 0 ?
Grazie
sto cercando di risolvere un esercizio che mi chiede di dire se l'integrale è invertibile.
L'integrale in oggetto è:
$ int_(1)^(e^(4x-8)) root(3)(t)*arctan(t^3 ) dt $
Ora per dire se è invertibile vado a studiare la monotonia, ovvero vedere se la derivata prima è crescente/decrescente giusto?
Sapendo che G(x)= $ int_(x0)^(f(x)) g(t) $ allora G'(x)= g(f(x))*f'(x)
Eseguendo i calcoli (se non ho sbagliato) ottengo:
G'(x)= $ root(3)(e^(4x-8)) *arctan(e^(4x-8))*4e^(4x-8) $
Ora che conclusioni posso dire? Che l'esponenziale è sempre positivo e crescente, e di conseguenze lo è la derivata e quindi l'integrale è invertibile?
Oppure devo vedere se è > 0 o < 0 ?
Grazie
Risposte
Devi semplicemente verificare che la derivata prima sia positiva o negativa per ogni $x in RR$ ($=0$ al più in punti isolati).
Direi che si vede a occhio.
Direi che si vede a occhio.
Infatti quello che mi chiedevo è questo, essendo l'esponenziale sempre positivo e crescente a intuito la risposta è SI, altrimenti dovrei farmi tutti i passaggi? Vorrei capire se posso saltare effettuando solamente la spiegazione "ovvia" 
Non solo l'esponenziale è maggiore di zero, ma l'artg è strettamente monotona crescente, e vale $0$ nell'origine, e continua... quindi?
Insomma due cose le devi dire, comunque sì puoi decisamente evitare di fare i conti..
Insomma due cose le devi dire, comunque sì puoi decisamente evitare di fare i conti..
Perfetto, direi che allora ci siamo capiti 
Detto questo su questo integrale ho un altra cosa da chiedere, un punto dell'esercizio che non so pero nemmeno dove iniziare, mi spiego:
Detta $ G(y)=F^{-1} (y) $ la funz. inversa, scrivere l'equazione della retta tangente al grafico di G nel punto di coordinate $ (0, G(0)) $
Ora penso che invertire quella funzione sia alquanto macchinoso, oppure mi sbaglio? Cosa posso fare innanzitutto per avere la funziona sulla quale calcolare la retta tangente ?
Grazie mille !!!
Detto questo su questo integrale ho un altra cosa da chiedere, un punto dell'esercizio che non so pero nemmeno dove iniziare, mi spiego:
Detta $ G(y)=F^{-1} (y) $ la funz. inversa, scrivere l'equazione della retta tangente al grafico di G nel punto di coordinate $ (0, G(0)) $
Ora penso che invertire quella funzione sia alquanto macchinoso, oppure mi sbaglio? Cosa posso fare innanzitutto per avere la funziona sulla quale calcolare la retta tangente ?
Grazie mille !!!
Cosa ti serve per poter scrivere la retta tangente al grafico di una funzione in un punto? Se rispondi a questa domanda e ti ricordi di un teorema che non puoi non conoscere, allora è fatta.
Beh sappiamo che $ y= (x-x0)*f'(x0)+f(x0) $ è l'equazione della retta tangente, devo trovarmi la derivata dell'integrale no?
Il problema che mi pongo è, derivare cosa...l'inversa ? Son fermo qui non mi viene in mente nessuno spunto
Il problema che mi pongo è, derivare cosa...l'inversa ? Son fermo qui non mi viene in mente nessuno spunto
Quindi mi basta fare il reciproco della derivata della funzione di partenza, ovvero il mio G(y) sarà:
$ G(y)= 1/[D[root(3)(y) * arctan(y^3 ) dy]] $ giusto ?
$ G(y)= 1/[D[root(3)(y) * arctan(y^3 ) dy]] $ giusto ?
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