Inverso teorema di convoluzione
Ho un dubbio sulla dimostrazione del teorema inverso di convoluzione:
siano $f$ , $g$ $ \in $ $ L^{1}(\mathbb(R^{N})) $ tali che $ \hat{f} $ , $\hat{g} \in L^{1}(\mathbb(R^{N})) $. Allora $\hat{fg}= \hat{f} \star \hat{g}$.
All'inizio della dimostrazione si asserisce che $ fg \in L^{1}(\mathbb(R^{N})) $ poiché $ g \in C_{0} $.
Non riesco a capire perché si può dire questa cosa.
siano $f$ , $g$ $ \in $ $ L^{1}(\mathbb(R^{N})) $ tali che $ \hat{f} $ , $\hat{g} \in L^{1}(\mathbb(R^{N})) $. Allora $\hat{fg}= \hat{f} \star \hat{g}$.
All'inizio della dimostrazione si asserisce che $ fg \in L^{1}(\mathbb(R^{N})) $ poiché $ g \in C_{0} $.
Non riesco a capire perché si può dire questa cosa.
Risposte
A quanto capisco, la dimostrazione usa la densità di \(C_c\) in \(L^1\).
Quindi si starà facendo l'ipotesi di comodo \(g\in C_c\) e si starà dimostrando l'asserto vero per ogni \(f\in L^1\).
Che il prodotto di una funzione continua a supporto compatto con una sommabile sia sommabile discende dall'inclusione banale \(C_c\subset L^\infty\) e dalla disuguaglianza di Holder con esponenti \(1\) ed \(\infty\).
Quindi si starà facendo l'ipotesi di comodo \(g\in C_c\) e si starà dimostrando l'asserto vero per ogni \(f\in L^1\).
Che il prodotto di una funzione continua a supporto compatto con una sommabile sia sommabile discende dall'inclusione banale \(C_c\subset L^\infty\) e dalla disuguaglianza di Holder con esponenti \(1\) ed \(\infty\).
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