Inverso di z coniugato
Come posso trasformare l'espressione $1/bar z$ sia in forma cartesiana che esponenziale?
Grazie mille!
Grazie mille!
Risposte
"gentah":
Come posso trasformare l'espressione $1/bar z$ sia in forma cartesiana che esponenziale?
Grazie mille!
Moltiplichi numeratore e denominatore per $z$. Risulterà:
$1/bar z=z/|z|^2$, che in forma esponenziale diventa: $(|z|e^(i theta))/|z|^2=e^(i theta)/|z|$.
Mentre in forma cartesiana:
$1/ bar z=1/|z|(cos theta +i sen theta)$
Forma cartesiana
Poni $ z=x+iy; barz=x-iy$ e quindi $1/(barz) =1/(x-iy)=(x+iy)/(x^2+y^2)=x/(x^2+y^2)+iy/(x^2+y^2)$ .
Forma esponenziale
Poni $z= rho e^(i theta); bar z =rhoe^(-itheta)$ e quindi $1/(bar z) = 1/(rhoe^(-itheta))=(1/rho)e^(itheta)$.
Poni $ z=x+iy; barz=x-iy$ e quindi $1/(barz) =1/(x-iy)=(x+iy)/(x^2+y^2)=x/(x^2+y^2)+iy/(x^2+y^2)$ .
Forma esponenziale
Poni $z= rho e^(i theta); bar z =rhoe^(-itheta)$ e quindi $1/(bar z) = 1/(rhoe^(-itheta))=(1/rho)e^(itheta)$.
Grazie infinite!
L'equazione da risolvere è questa: $z^2*\bar z=1$.
Mi stavo cimentando con la forma esponenziale, che ho trovato molto più comoda specialmente quando ho a che fare con potenze esorbitanti!
Non avendo però ancora molta dimestichezza con il metodo, vi posto i passaggi dell'esercizio, sperando che possiate dirmi ho eventualmente sbagliato!
Ponendo 1 in forma esponenziale, abbiamo: $1= 1*e^i0$
Successivamente, posto $z=\rho*e^i\theta$, a questo punto scriviamo $z^2=\rho^2*e^i2\theta$ e $\bar z=\rho*e^-i\theta$
Quindi l'equazione diviene, facendo già due calcoli:
$\rho^3*e^i\theta=e^i0$
Da cui
$ \rho^3=1 Rightarrow \rho=1$
$\theta= 0+ 2k\pi, k=0,1,2$
Allora
per k=0, si ha $\theta=0$
per k=1 si ha $\theta=2\pi$
per k=2 si ha $\theta=4\pi$
Sicuramente avrò sbagliato qualcosa...potreste correggere i passaggi?
Vi ringrazio ancora!
L'equazione da risolvere è questa: $z^2*\bar z=1$.
Mi stavo cimentando con la forma esponenziale, che ho trovato molto più comoda specialmente quando ho a che fare con potenze esorbitanti!
Non avendo però ancora molta dimestichezza con il metodo, vi posto i passaggi dell'esercizio, sperando che possiate dirmi ho eventualmente sbagliato!
Ponendo 1 in forma esponenziale, abbiamo: $1= 1*e^i0$
Successivamente, posto $z=\rho*e^i\theta$, a questo punto scriviamo $z^2=\rho^2*e^i2\theta$ e $\bar z=\rho*e^-i\theta$
Quindi l'equazione diviene, facendo già due calcoli:
$\rho^3*e^i\theta=e^i0$
Da cui
$ \rho^3=1 Rightarrow \rho=1$
$\theta= 0+ 2k\pi, k=0,1,2$
Allora
per k=0, si ha $\theta=0$
per k=1 si ha $\theta=2\pi$
per k=2 si ha $\theta=4\pi$
Sicuramente avrò sbagliato qualcosa...potreste correggere i passaggi?
Vi ringrazio ancora!
Up: non è che l'equazione ammette una sola soluzione, unicamente per k=0? Cioè, come faccio a capire, nella forma esponenziale, quante radici potrò ottenere?
"gentah":
Up: non è che l'equazione ammette una sola soluzione, unicamente per k=0? Cioè, come faccio a capire, nella forma esponenziale, quante radici potrò ottenere?
Il campo dei complessi è algebricamente chiuso e quindi il numero di radici è uguale al grado del polinomio, eventualmente possono esserci soluzioni coincidenti.
...Quindi in tal caso le radici sono 2, poiché il grado di z è 2, vero?
Il grado non può essere 2 perché hai il prodotto tra $z^2$ e $bar z$, quindi il grado è 3.
"gentah":
Grazie infinite!
L'equazione da risolvere è questa: $z^2*\bar z=1$.
Mi stavo cimentando con la forma esponenziale, che ho trovato molto più comoda specialmente quando ho a che fare con potenze esorbitanti!
Non avendo però ancora molta dimestichezza con il metodo, vi posto i passaggi dell'esercizio, sperando che possiate dirmi ho eventualmente sbagliato!
Ponendo 1 in forma esponenziale, abbiamo: $1= 1*e^i0$
Successivamente, posto $z=\rho*e^i\theta$, a questo punto scriviamo $z^2=\rho^2*e^i2\theta$ e $\bar z=\rho*e^-i\theta$
Quindi l'equazione diviene, facendo già due calcoli:
$\rho^3*e^i\theta=e^i0$
Da cui
$ \rho^3=1 Rightarrow \rho=1$
$\theta= 0+ 2k\pi, k=0,1,2$
Allora
per k=0, si ha $\theta=0$
per k=1 si ha $\theta=2\pi$
per k=2 si ha $\theta=4\pi$
Sicuramente avrò sbagliato qualcosa...potreste correggere i passaggi?
Vi ringrazio ancora!
Guardando la forma mi è venuto un modo un po' diverso...
Vediamo il problema geometricamente. $z^n = 1$ ha n soluzioni e in tutte $z\barz = 1$. Quindi abbiamo che $z^2z^(-1) = 1\ \ \ \ z(z\bar z) = 1\ \ \ z = 1$ che è l'unica soluzione del problema (il polinomio è di grado 1).
Grazie infinite per l'aiuto!
Ho risolto l'esercizio in forma esponenziale, e mi sono reso conto ke, forse, per vedere quante soluzioni ci sono devo guardare il coefficiente dell'angolo $\theta$...? In questo caso è 1, quindi una sola soluzione. Confrontando con altri esercizi, infatti, ho notato che, ad esempio, se è $3\theta = (...)+2k\pi$, le soluzioni sono 3, rispettivamente per k=0,1,2.
E' un caso, oppure la mia intuizione è corretta?
Ho risolto l'esercizio in forma esponenziale, e mi sono reso conto ke, forse, per vedere quante soluzioni ci sono devo guardare il coefficiente dell'angolo $\theta$...? In questo caso è 1, quindi una sola soluzione. Confrontando con altri esercizi, infatti, ho notato che, ad esempio, se è $3\theta = (...)+2k\pi$, le soluzioni sono 3, rispettivamente per k=0,1,2.
E' un caso, oppure la mia intuizione è corretta?
Aspetta un attimo.
Abbiamo $z^2*barz=1$ se e solo se $z*|z|^2=1$ (basta ricordare che $|z|^2=z*barz$) e ciò si verifica se e solo se $"arg"(z)=kpi$ (poiché se $z$ non fosse reale, nemmeno $z*|z|^2$ lo sarebbe e perciò non potrebbe essere verificata l'equazione) e $|z|^3=1$; pertanto $z=pm 1$ epperò $z=-1$ non risolve dell'equazione, cosicchè $z=1$ è l'unica soluzione del problema.
Abbiamo $z^2*barz=1$ se e solo se $z*|z|^2=1$ (basta ricordare che $|z|^2=z*barz$) e ciò si verifica se e solo se $"arg"(z)=kpi$ (poiché se $z$ non fosse reale, nemmeno $z*|z|^2$ lo sarebbe e perciò non potrebbe essere verificata l'equazione) e $|z|^3=1$; pertanto $z=pm 1$ epperò $z=-1$ non risolve dell'equazione, cosicchè $z=1$ è l'unica soluzione del problema.
Perfetto!^^
E il fatto dell'angolo $\theta$, di cui ho parlato nel post precedente, è giusto?
E il fatto dell'angolo $\theta$, di cui ho parlato nel post precedente, è giusto?
"gentah":
Come posso trasformare l'espressione $1/bar z$ sia in forma cartesiana che esponenziale?
Grazie mille!
La funzione complessa
$z \mapsto 1/(\bar(z))$
non è altro che l'inversione circolare (che infatti è anti-olomorfa).
Le coordinate della trasformazione in coordinate cartesiane sono:
$(x;y) \mapsto (x/(x^2+y^2);y/(x^2+y^2))$
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