Inversione ordine di integrazione
ciao a tutti, devo invertire l'ordine di integrazione in questi integrali doppi
$int (0 to 1) dy int y 0 to 1 f(x,y) dx $
$int dx (0 to 1) int (-x to x^2) f(x,y) dy$
so ricavare le funzioni inverse ma non riesco a inveritre l'ordine di integrazione . Ho provato a sostituire le $x$ cob le $y$ ma il risultato sul libro è diverso . Grazie anticipatamente
ad esempio $ (o to 1) $ indica l'integrale fra 0 e 1 ( non sono riscita a scriverlo come integrale definito )
$int (0 to 1) dy int y 0 to 1 f(x,y) dx $
$int dx (0 to 1) int (-x to x^2) f(x,y) dy$
so ricavare le funzioni inverse ma non riesco a inveritre l'ordine di integrazione . Ho provato a sostituire le $x$ cob le $y$ ma il risultato sul libro è diverso . Grazie anticipatamente
ad esempio $ (o to 1) $ indica l'integrale fra 0 e 1 ( non sono riscita a scriverlo come integrale definito )
Risposte
Ho fatto un esercizio simile ; però prima di provarci devo capire bene la tua scrittura...per esempio il secondo integrale è una cosa così ?
$ int_0^1 [int_-x^(x^2) f(x,y) dy ]dx $ .
In tal caso devi capire "come sta integrando" ; in questa situazione è un dominio semplice e lo capisci dal fatto che la y è compresa tra due funzioni che dipendono da x mentre x è compresa in un intervallo numerico. Il tuo dominio di integrazione sarebbe : $D={(x,y)\in R^2 : 0<=x<=1 , -x<=y<=x^2}$ .
Se così fosse devi assolutamente disegnare questo dominio per chiarirti le idee. Ora devi far si che y vari tra due numeri , e dal disegno puoi vedere che y è compreso tra -1 e 1 mentre nel primo nel quarto quadrante sono definite le funzioni rispettivamente $y=-x , y=x^2$ ; questo dovrebbe intendere che il dominio va spezzato con y tra -1 e 0 e con y tra 0 e 1 : $D'=D'_1 + D'_2$.
$D'_1 = {(x,y)\in R^2 : -1<=y<=0 , -y<=x<=1}$
$D'_1 = {(x,y)\in R^2 : 0<=y<=1 , -sqrt(y)<=x<=sqrt(y)}$
Non ti assicuro che sia giusto non sono un super esperto ma credo che avrei fatto così e di conseguenza :
$int_(D') f(x,y)dxdy = int_(D'_1) f(x,y)dxdy +int_(D'_2) f(x,y)dxdy = int_-1^0 [int_-y^1f(x,y) dx ]dy + int_0^1 [int_-sqrt(y)^sqrt(y)f(x,y) dx ]dy$.
$ int_0^1 [int_-x^(x^2) f(x,y) dy ]dx $ .
In tal caso devi capire "come sta integrando" ; in questa situazione è un dominio semplice e lo capisci dal fatto che la y è compresa tra due funzioni che dipendono da x mentre x è compresa in un intervallo numerico. Il tuo dominio di integrazione sarebbe : $D={(x,y)\in R^2 : 0<=x<=1 , -x<=y<=x^2}$ .
Se così fosse devi assolutamente disegnare questo dominio per chiarirti le idee. Ora devi far si che y vari tra due numeri , e dal disegno puoi vedere che y è compreso tra -1 e 1 mentre nel primo nel quarto quadrante sono definite le funzioni rispettivamente $y=-x , y=x^2$ ; questo dovrebbe intendere che il dominio va spezzato con y tra -1 e 0 e con y tra 0 e 1 : $D'=D'_1 + D'_2$.
$D'_1 = {(x,y)\in R^2 : -1<=y<=0 , -y<=x<=1}$
$D'_1 = {(x,y)\in R^2 : 0<=y<=1 , -sqrt(y)<=x<=sqrt(y)}$
Non ti assicuro che sia giusto non sono un super esperto ma credo che avrei fatto così e di conseguenza :
$int_(D') f(x,y)dxdy = int_(D'_1) f(x,y)dxdy +int_(D'_2) f(x,y)dxdy = int_-1^0 [int_-y^1f(x,y) dx ]dy + int_0^1 [int_-sqrt(y)^sqrt(y)f(x,y) dx ]dy$.
ciao ,grazie mille! il tuo risultato coincide con quello del libro!
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