Inversione ordine di integrazione

[ire881]

Ciao a tutti!!

Ho il seguente esercizio, di cui non ho soluzione:

Invertire l'ordine d'integrazione:

$int_(0)^(1) (int_(0)^(sqrt(4y) ) (x+y)dx )dy + int_(1)^(2) (int_(0)^(4-2y) (x+y)dx )dy$

Ho provato a risolverlo aiutandomi con la rappresentazione grafica e mi torna:

$int_(0)^(2) (int_(0)^(x^2/4 ) (x+y)dx )dy + int_(0)^(2) (int_(-1/2x+2)^(2) (x+y)dx )dy$

Ma con molti dubbi al riguardo.
Qualcuno potrebbe confermarmi o meno?
Grazie mille in anticipo!!

[gugo82]

L'integrale interno del primo addendo è \(\int_{x^2/4}^1\cdots \text{d} y\), mentre quello interno al secondo è \(\int_1^{2-x/2}\cdots \text{d} y\), quindi per la proprietà additiva puoi pure sommare gli integrali interni e scrivere direttamente \(\int_{x^2/4}^{2-x/2} \cdots \text{d} y\).

Infatti, graficamente, il dominio d'integrazione è quello delimitato dalle curve in rosso:
[asvg]xmin=0; xmax=2; ymin=0; ymax=2;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2; plot("2-x/2",0,2); plot("x^2/4",0,2); line([0,0],[0,2]);[/asvg]

[ire881]

Grazie mille!!!!
mi hai fatto capire bene finalmente come devo prendere l'intervallo dell'integrale interno!!
L'integrale esterno è esatto nell'intervallo [0 2] per entrambi..giusto?
Ma quindi, a livello pratico, per cambiare l'ordine di integrazione è sempre consigliato passare dal grafico per rendersi conto meglio del dominio?

Grazie ancora!!