Inversa funzione integrale
Chiedo aiuto...
$f(x)=int_{0}^{logx} t^2e^-t dt$
Detta $\varphi(t)$ la funzione inversa di $f(x)$, calcolare il dominio di $\varphi(y)$ e il limite
$lim_(y->0)varphi^{\prime}(y)$
c'è qualcuno che mi può aiutare nella risoluzione di questo tipo di esercizi???
$f(x)=int_{0}^{logx} t^2e^-t dt$
Detta $\varphi(t)$ la funzione inversa di $f(x)$, calcolare il dominio di $\varphi(y)$ e il limite
$lim_(y->0)varphi^{\prime}(y)$
c'è qualcuno che mi può aiutare nella risoluzione di questo tipo di esercizi???
Risposte
Ma io mi chiedo può esistere l'inversa di una funzione integrale???
"mazzy89":
Ma io mi chiedo può esistere l'inversa di una funzione integrale???
Sì, può esistere, così come esistono le inverse di funzioni ben più "strane".
Evidentemente l'esercizio non ti chiede di determinare esplicitamente la funzione inversa (il che, credo, risulti umanamente impossibile), bensì ti chiede di determinarne il dominio.
Visto che ogni funzione è certamente invertibile ov'essa risulti monotona, tutto sta nel determinare il codominio della funzione integrale ed i suoi intervalli di monotonia, e ciò non è molto difficile (basta saper applicare i criteri di sommabilità per gli integrali impropri ed il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale).
Per calcolare il limite, probabilmente dovrai fare un sapiente uso del Teorema di derivazione della funzione inversa.
"Gugo82":
[quote="mazzy89"]Ma io mi chiedo può esistere l'inversa di una funzione integrale???
Sì, può esistere, così come esistono le inverse di funzioni ben più "strane".
Evidentemente l'esercizio non ti chiede di determinare esplicitamente la funzione inversa (il che, credo, risulti umanamente impossibile), bensì ti chiede di determinarne il dominio.
Visto che ogni funzione è certamente invertibile ov'essa risulti monotona, tutto sta nel determinare il codominio della funzione integrale ed i suoi intervalli di monotonia, e ciò non è molto difficile (basta saper applicare i criteri di sommabilità per gli integrali impropri ed il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale).
Per calcolare il limite, probabilmente dovrai fare un sapiente uso del Teorema di derivazione della funzione inversa.[/quote]
ecco ora mi spiego. quindi l'esercizio chiede di trovare il dominio dell'inversa ma non di trovare esplicitamente l'inversa.bene ora ci siamo. quindi in definitiva quello che devo fare è calcolarmi il dominio del codominio giusto?
però non riesco a capire come applicare i criteri di sommabilità per gli integrali impropri...
Per quanto riguarda la convergenza di integrali impropri, sfrutti il fatto che
$\int_(x_0)^(+ \infty) 1/(x^(\alpha)) < \infty$ solo se $\alpha < 1$
e cerchi di confrontare l'andamento della tua f con le potenze negative di x. L'idea è di trovare un maggiorante integrabile.
Nel tuo esempio, cmq, la funzione è integrabile a più infinito perchè l'esponenziale "ammazza" tutte le potenze. Anche in x=0 hai dei problemi e quindi devi studiare anche l'integrabilità in un intorno di meno infinito.
Per la derivata devi prima trovare la retroimmagine del punto y=0, cioè del punto in cui vuoi calcolare la derivata, chiamalo $F^(-1)(0)$. Poi, come dice Gugo, usi il teorema della derivata della funzione inversa,
$d / (d y) [F^(-1)(y)] = 1 / (F'(x)) ]_(x = F^(-1) (y))$
$\int_(x_0)^(+ \infty) 1/(x^(\alpha)) < \infty$ solo se $\alpha < 1$
e cerchi di confrontare l'andamento della tua f con le potenze negative di x. L'idea è di trovare un maggiorante integrabile.
Nel tuo esempio, cmq, la funzione è integrabile a più infinito perchè l'esponenziale "ammazza" tutte le potenze. Anche in x=0 hai dei problemi e quindi devi studiare anche l'integrabilità in un intorno di meno infinito.
Per la derivata devi prima trovare la retroimmagine del punto y=0, cioè del punto in cui vuoi calcolare la derivata, chiamalo $F^(-1)(0)$. Poi, come dice Gugo, usi il teorema della derivata della funzione inversa,
$d / (d y) [F^(-1)(y)] = 1 / (F'(x)) ]_(x = F^(-1) (y))$
"mazzy89":
Chiedo aiuto...
$f(x)=int_{0}^{logx} t^2e^-t dt$
Detta $\varphi(t)$ la funzione inversa di $f(x)$, calcolare il dominio di $\varphi(y)$ [...]
Vediamo un po'...
Innanzitutto, nota che la tua $f$ è composta da due funzioni: la componente esterna, diciamola $F(u):=\int_0^u t^2 e^(-t) " d"t$, e la componente interna, diciamola $g(x)=log x$.
Andiamo a vedere come sono fatte. La $F$ è la funzione integrale nulla in $0$ di un'applicazione definita in tutto $RR$, ivi di classe $C^oo$, positiva, sommabile in $+oo$ e positivamente divergente in $-oo$: quindi $F \in C^oo(RR)$ ha per dominio $RR$ (quello dell'integrando, visto che esso non ha discontinuità) e codominio $]-oo, A[$ ove:
$A:=\int_0^(+oo) t^2e^(-t)" d"t>0\quad $ (che questo integrale sia finito lo ricavi dal criterio di sommabilità, visto che in $+oo$ l'integrando è infinitesimo d'ordine infinitamente elevato);
inoltre la funzione integrale è strettamente crescente (si ricava dal segno dell'integrando).
La $g$ è invece definita in $]0,+oo[$, ha per codominio tutto $RR$, è crescente, negativamente divergente in $0$ (a destra), positivamente divergente in $+oo$, negativa in $]0,1[$ e positiva in $]1,+oo[$; inoltre $g$ è di classe $C^oo(]0,+oo[)$.
Dall'analisi del dominio/codominio di $F$ e $g$, ricavi immediatamente che $F$ è componibile con $g$ per qualunque valore di $x$ nel dominio di $g$ (infatti $"codominio "g ="dominio "F$), cosicché il dominio di $f$ è $]0,+oo[$ ($="dominio "g$); inoltre sai che $f=F\circ g$ è di classe $C^oo(RR)$ (composta di applicazioni $C^oo$), che essa si annulla in $0$, che risulta:
$lim_(x\to 0^+) f(x)=lim_(x\to 0^+)\int_0^(logx) t^2e^(-t)" d"t=lim_(u\to -oo) F(u)=-oo$
$lim_(x\to +oo) f(x)=lim_(x\to +oo)\int_0^(logx) t^2e^(-t)" d"t=lim_(u\to +oo) F(u)=A$
e che $f$ è strettamente crescente (perchè composta da due applicazioni strettamente crescenti).
Ne viene che il codominio di $f$ è un intervallo (perchè $f$ è continua su $]0,+oo[$) e che esso coincide con $]-oo,A[$ (infatti, vista la stretta crescenza di $f$ si ha, ad esempio, $"sup "f=lim_(x\to +oo) f(x)=A$).
Da quanto stabilito consegue che $f$ è invertibile in tutto $]0,+oo[$ e che la sua inversa, diciamola $phi$, ha per dominio l'intervallo $]-oo,A[$, codominio $]0,+oo[$ e che essa è strettamente crescente.
"Gugo82":
[quote="mazzy89"]Chiedo aiuto...
$f(x)=int_{0}^{logx} t^2e^-t dt$
Detta $\varphi(t)$ la funzione inversa di $f(x)$, calcolare il dominio di $\varphi(y)$ [...]
Vediamo un po'...
Innanzitutto, nota che la tua $f$ è composta da due funzioni: la componente esterna, diciamola $F(u):=\int_0^u t^2 e^(-t) " d"t$, e la componente interna, diciamola $g(x)=log x$.
Andiamo a vedere come sono fatte. La $F$ è la funzione integrale nulla in $0$ di un'applicazione definita in tutto $RR$, ivi di classe $C^oo$, positiva, sommabile in $+oo$ e positivamente divergente in $-oo$: quindi $F \in C^oo(RR)$ ha per dominio $RR$ (quello dell'integrando, visto che esso non ha discontinuità) e codominio $]-oo, A[$ ove:
$A:=\int_0^(+oo) t^2e^(-t)" d"t>0\quad $ (che questo integrale sia finito lo ricavi dal criterio di sommabilità, visto che in $+oo$ l'integrando è infinitesimo d'ordine infinitamente elevato);
inoltre la funzione integrale è strettamente crescente (si ricava dal segno dell'integrando).
La $g$ è invece definita in $]0,+oo[$, ha per codominio tutto $RR$, è crescente, negativamente divergente in $0$ (a destra), positivamente divergente in $+oo$, negativa in $]0,1[$ e positiva in $]1,+oo[$; inoltre $g$ è di classe $C^oo(]0,+oo[)$.
Dall'analisi del dominio/codominio di $F$ e $g$, ricavi immediatamente che $F$ è componibile con $g$ per qualunque valore di $x$ nel dominio di $g$ (infatti $"codominio "g ="dominio "F$), cosicché il dominio di $f$ è $]0,+oo[$ ($="dominio "g$); inoltre sai che $f=F\circ g$ è di classe $C^oo(RR)$ (composta di applicazioni $C^oo$), che essa si annulla in $0$, che risulta:
$lim_(x\to 0^+) f(x)=lim_(x\to 0^+)\int_0^(logx) t^2e^(-t)" d"t=lim_(u\to -oo) F(u)=-oo$
$lim_(x\to +oo) f(x)=lim_(x\to +oo)\int_0^(logx) t^2e^(-t)" d"t=lim_(u\to +oo) F(u)=A$
e che $f$ è strettamente crescente (perchè composta da due applicazioni strettamente crescenti).
Ne viene che il codominio di $f$ è un intervallo (perchè $f$ è continua su $]0,+oo[$) e che esso coincide con $]-oo,A[$ (infatti, vista la stretta crescenza di $f$ si ha, ad esempio, $"sup "f=lim_(x\to +oo) f(x)=A$).
Da quanto stabilito consegue che $f$ è invertibile in tutto $]0,+oo[$ e che la sua inversa, diciamola $phi$, ha per dominio l'intervallo $]-oo,A[$, codominio $]0,+oo[$ e che essa è strettamente crescente.[/quote]
Ti ringrazio infinitamente della tua disponibilità e della tua chiarezza nella spiegazione. Grazie tante
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