Inversa di una funzione
Ciao ragazzi! mi rivolgo a voi per un dubbio che ho: data la funzione $f(x)=2x +sinx$ dovrei calcolare la sua inversa nell'intervallo [-pi/2;pi/2]. Io ho ragionato cosi: siccome la funzione è somma di due funzioni crescenti sicuramente è iniettiva e soprattutto nell'intervallo dato lo sarà,quindi non ci sarà nessuna retta parallela all'asse delle x che possa toccare piu di un punto della funzione in dato intervallo...e fino qui ci sono....ma come faccio adesso a calcolarmi la funzione inversa non potendo ricavarmi la x in funzione di y... $y=2x+sinx$??? come faccio? grazie in anticipo 
ps: non datemi spiegazioni troppo elevate,sono umano!!!
ps: non datemi spiegazioni troppo elevate,sono umano!!!
Risposte
Non mi sembra possibile ricavare l'inversa, in questo caso. La monotonia della funzione ti garantisce però la sua esistenza.
Grazie Seneca,quindi la monotonia mi garantisce l'esistenza della sua inversa ma non posso calcolarla...almeno posso sapere il domino della sua inversa?In modo da avere almeno delle informazioni su questa funzione?
"tony91":
Grazie Seneca,quindi la monotonia mi garantisce l'esistenza della sua inversa ma non posso calcolarla...almeno posso sapere il domino della sua inversa?In modo da avere almeno delle informazioni su questa funzione?
Sì, certo. Il dominio dell'inversa è il codominio della tua funzione.
Capito,ma come faccio a calcolare il codominio di $y=2x+sinx$? perchè cambiando di variabile mi blocco di nuovo sulla stessa funzione. Di sicuro il dominio della mia funzione sarà l'unione tra R del polinomio $2X$ e tutto R anche per $sinx$,quindi il dominio è R. MA il codominio come lo trovo?
Ovviamente senza ricorrere al grafico....
"tony91":
Capito,ma come faccio a calcolare il codominio di $y=2x+sinx$? perchè cambiando di variabile mi blocco di nuovo sulla stessa funzione. Di sicuro il dominio della mia funzione sarà l'unione tra R del polinomio $2X$ e tutto R anche per $sinx$,quindi il dominio è R. MA il codominio come lo trovo?
Dovresti ragionare calcolando i limiti per $x -> +- oo$.
Ad ogni modo ti ho scritto una cosa imprecisa. La funzione deve essere strettamente monotona in un intervallo per essere invertibile (in quell'intervallo).
Si Seneca,comunque come abbiamo detto prima la funzione di sicuro ha inversa perchè nell'intervallo $[-pi/2;pi/2]$ è crescente....devo quindi calcolarmi il limite per piu infinito e meno infinito della mia funzione per trovare il codominio?gentilmente potresti spiegrami perchè? grazie mille che segui la mia domanda!!;)
La funzione è continua e crescente in [tex]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right][/tex], per il teorema di Weierstrass, la funzione ammette massimo e minimo, che in questo caso risultano essere:
[tex]m=\displaystyle\min_{x\in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]} f(x) = f\left(-\frac{\pi}{2}\right) =-1-\pi[/tex] mentre
[tex]M=\displaystyle\max_{x\in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]} f(x) = f\left(\frac{\pi}{2}\right) =1+\pi[/tex]
per il teorema dei valori intermedi abbiamo che la funzione assume tutti i valori compresi tra [tex]m[/tex] ed [tex]M[/tex], dunque:
[tex]f([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]) = [-1-\pi, 1+\pi][/tex]
[tex]m=\displaystyle\min_{x\in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]} f(x) = f\left(-\frac{\pi}{2}\right) =-1-\pi[/tex] mentre
[tex]M=\displaystyle\max_{x\in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]} f(x) = f\left(\frac{\pi}{2}\right) =1+\pi[/tex]
per il teorema dei valori intermedi abbiamo che la funzione assume tutti i valori compresi tra [tex]m[/tex] ed [tex]M[/tex], dunque:
[tex]f([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]) = [-1-\pi, 1+\pi][/tex]
Grazie Mathematico,cosi si calcola quindi il codomino della mia funzione in dato intervallo $[-pi/2;pi/2]$... è possibile calcolare la sua inversa ?e come? grazie 
Inoltre se la doeveo calcolare il codominio della $y=2x+sinx$ nn restringendolo a ad un intervallo come prima ,il risultato sarebbe lo stesso $[-1-pi;1+pi]$
?
?
La sua inversa in questo caso non può essere determinata attraverso metodi algebrici. La traccia dell'esercizio ti chiede esplicitamente di determinare l'inversa?
"tony91":
Inoltre se la doeveo calcolare il codominio della $y=2x+sinx$ nn restringendolo a ad un intervallo come prima ,il risultato sarebbe lo stesso $[-1-pi;1+pi]$
?
Assolutamente no. In quel caso dovevi calcolare i limite per x che tende a meno infinito e per x che tende a più infinito
Grazie Mathematico,si la traccia chiede di trovare l'inversa della funzione.Ma fatto curioso il risultato non c'è,sicuramente è come dici te. Ti ringrazio molto per la disponibilità
Mi suona strano che ti chiedano di determinare l'inversa 
, mmm di solito chiedno di verificare se in un dato intervallo la funzione è invertibile, e se la funzione è benevola determinare esplicitamente l'inversa. In questo caso la funzione non mi sembra tanto benevola
Ad ogni modo prego
, mmm di solito chiedno di verificare se in un dato intervallo la funzione è invertibile, e se la funzione è benevola determinare esplicitamente l'inversa. In questo caso la funzione non mi sembra tanto benevola Ad ogni modo prego
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