Inversa dell'inversa di una funzione invertibile.
Do' prima alcune definizioni:
Una funzione $ f : X sube RR \to RR$ è invertibile o biunivoca (così almeno mi è stata definita, in modo semplice che in qualche modo sintetizza tutta la teoria che c'è dietro) se:
$AA x_1, x_2 in X : x_1 != x_2, f(x_1) != f(x_2)$
$f : X sube RR \to RR$ è una funzione invertibile; definisco l'inversa in questo modo:
$f(x) in f(X) \to$ l'unica soluzione dell' equazione in $x$ : $f(x) = \bar y$,
e la chiamo $g$.
Devo dimostrare che la funzione $g$ sia invertibile e che la sua inversa sia proprio $f$. Sarà anche una dimostrazione banale, secondo alcuni "non c'è niente da dimostrare", ma il mio professore, a titolo di esercizio metodologico, ha voluto svolgerla lo stesso. Solo che la sua dimostrazione non mi è parsa molto lineare, di conseguenza preferisco rifletterci un po' su da me.
Dunque, io provo a postare qualcosa, sperando che mi correggiate qualora fosse opportuno.
1) Dimostro prima che la funzione $g$ è invertibile.
Dobbiamo qui dimostrare che
$AA f(x_1), f(x_2) : f(x_1) != f(x_2), x_1 != x_2$. (*)
$x_1$ e $x_2$ infatti sono le uniche soluzioni dell'equazione $f(x) = \bar y$, con $\bar y$ un generico valore dell'immagine di $f$, e questo poichè sappiamo che dire che una funzione (in questo caso $f$ ) è invertibile e dire che essa per ogni $y in f(X)$ sia univocamente risolubile è la stessa cosa.
Vado dunque a dimostrare.
Considero un generico $\bar x in X$, e l'equazione:
$g(f(bar x)) = \bar x$ (1)
Per dimostrare che $g$ sia invertibile basta dimostrare che tale equazione, per ogni $\bar x in X$ abbia una sola soluzione, in viertù di una nota equivalenza.
Secondo me è facile vederlo dall' invertibilità di $f$ e dalla definizione di $g$ come inversa di $f$ invertibile.
In base alla definizione di $g$, infatti, sappiamo che ad ogni $f(bar x) in f(X)$ c'è un unico valore di $\bar x in X$;
in base alla definizione di $f$ sappiamo che l' $f(\bar x)$ associato a $\bar x$ è unico. (2)
Quindi $AA f(x_1), f(x_2) : f(x_1) != f(x_2), x_1 != x_2$, che è proprio la funzione inversa applicata a $g$.
A preoccuparmi è la frase (2), che mi lascia qualche dubbio.
Per il momento posto solo la prima parte, per semplicità.
Una funzione $ f : X sube RR \to RR$ è invertibile o biunivoca (così almeno mi è stata definita, in modo semplice che in qualche modo sintetizza tutta la teoria che c'è dietro) se:
$AA x_1, x_2 in X : x_1 != x_2, f(x_1) != f(x_2)$
$f : X sube RR \to RR$ è una funzione invertibile; definisco l'inversa in questo modo:
$f(x) in f(X) \to$ l'unica soluzione dell' equazione in $x$ : $f(x) = \bar y$,
e la chiamo $g$.
Devo dimostrare che la funzione $g$ sia invertibile e che la sua inversa sia proprio $f$. Sarà anche una dimostrazione banale, secondo alcuni "non c'è niente da dimostrare", ma il mio professore, a titolo di esercizio metodologico, ha voluto svolgerla lo stesso. Solo che la sua dimostrazione non mi è parsa molto lineare, di conseguenza preferisco rifletterci un po' su da me.
Dunque, io provo a postare qualcosa, sperando che mi correggiate qualora fosse opportuno.
1) Dimostro prima che la funzione $g$ è invertibile.
Dobbiamo qui dimostrare che
$AA f(x_1), f(x_2) : f(x_1) != f(x_2), x_1 != x_2$. (*)
$x_1$ e $x_2$ infatti sono le uniche soluzioni dell'equazione $f(x) = \bar y$, con $\bar y$ un generico valore dell'immagine di $f$, e questo poichè sappiamo che dire che una funzione (in questo caso $f$ ) è invertibile e dire che essa per ogni $y in f(X)$ sia univocamente risolubile è la stessa cosa.
Vado dunque a dimostrare.
Considero un generico $\bar x in X$, e l'equazione:
$g(f(bar x)) = \bar x$ (1)
Per dimostrare che $g$ sia invertibile basta dimostrare che tale equazione, per ogni $\bar x in X$ abbia una sola soluzione, in viertù di una nota equivalenza.
Secondo me è facile vederlo dall' invertibilità di $f$ e dalla definizione di $g$ come inversa di $f$ invertibile.
In base alla definizione di $g$, infatti, sappiamo che ad ogni $f(bar x) in f(X)$ c'è un unico valore di $\bar x in X$;
in base alla definizione di $f$ sappiamo che l' $f(\bar x)$ associato a $\bar x$ è unico. (2)
Quindi $AA f(x_1), f(x_2) : f(x_1) != f(x_2), x_1 != x_2$, che è proprio la funzione inversa applicata a $g$.
A preoccuparmi è la frase (2), che mi lascia qualche dubbio.
Per il momento posto solo la prima parte, per semplicità.
Risposte
"turtle87":
$AA x_1, x_2 in X : x_1 != x_2, f(x_1) != f(x_2)$
Che cosa intendi con la virgola in una formula matematica?
Credo intenda un $=>$.
Potete anche vederla come $=>$, in quel caso, se volete.
"Megan00b":
[quote="turtle87"]
$AA x_1, x_2 in X : x_1 != x_2, f(x_1) != f(x_2)$
Che cosa intendi con la virgola in una formula matematica?
[/quote]Perchè, mega, la definizione di limite non la scrivi $AA epsilon >0, exists nu in NN: AA n>nu , |a_n-L|
La virgola serve come separatore quando l'implicazione è di troppo.
@turtle87: Il tale che ($:$) è superfluo e si vede ad occhio. Per evitare richiami formali, sarebbe bastato scrivere $AAx_1!=x_2 \in X, f(x_1)!=f(x_2)$.
Per quanto riguarda la dimostrazione?
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