Inventare funzioni con determinate caratteristiche
Ciao a tutti,
mi chiedevo se e' possibile creare dal nulla delle funzioni (a una variabile) che abbiano caratteristiche ben precise. Mi spiego meglio facendo alcuni esempi:
- creare una funzione che abbia un asintoto obliquo e due verticali.
o
- creare una funzione che abbia un asintoto orizzontale e due verticali.
o ancora:
- creare una funzione che abbia ESATTAMENTE tre massimi ed ESATTAMENTE due minimi.
Avete qualche idea o suggerimento?
Grazie
mi chiedevo se e' possibile creare dal nulla delle funzioni (a una variabile) che abbiano caratteristiche ben precise. Mi spiego meglio facendo alcuni esempi:
- creare una funzione che abbia un asintoto obliquo e due verticali.
o
- creare una funzione che abbia un asintoto orizzontale e due verticali.
o ancora:
- creare una funzione che abbia ESATTAMENTE tre massimi ed ESATTAMENTE due minimi.
Avete qualche idea o suggerimento?
Grazie
Risposte
Per creare una funzione con un tot numero di massimi e minimi basta lavorare con semplici funzioni polinomiali. In linea generale dopo aver preso un po' di confidenza sulle caratteristische di varie funzioni elementari è facile crearne di composte che rispettino determinate caratteristiche... oppure puoi semplicemente usare una funzione definita a tratti, ancor più semplice da creare con dati requisiti 
Per i primi due basta cercare nelle razionali fratte, tanto per andare sul semplice: insomma si tratta di determinare due polinomi "adeguati" $p,q$ e scrivere la funzione incognita $f$ come rapporto di $p/q$.
Per il terzo quesito basta anche considerare solo un polinomio di sesto grado.
Per il terzo quesito basta anche considerare solo un polinomio di sesto grado.
Ho scoperto che con funzioni del tipo:
$f(x) = \pm a/((\pm x \pm c_1)* (\pm x \pm c_2)*(\pm x \pm c_3)*...) $
con $a$ e $c_n$ numeri qualsiasi, riesco a generare tanti asintoti verticali quante sono le $c$, che hanno equazione $x= \pm c$
Ma non mi soddisfa, ne' mi aiuta granche' sugli asintoti obliqui.
Riguardo al secondo punto ho trovato la funzione $f(x) = 1/((x-1)*(x+2))$: ha un asintoto orizzontale $y=0$ e due astintoti verticali $x=-2$ e $x=1$ (correggetemi se sbaglio!)
Perche' proprio di SESTO grado? Del tipo? Ho provato a disegnare qualche grafico, ma senza successo.
Vorrei creare un algoritmo che mi crei (ad esempio) 500 funzioni casuali che abbiano quanti asintoti dico io (sebbene non ne abbia bisogno, il mio esercizio richiede solamente i tre punti citati prima, ma non ho voglia di provare a casaccio finche' non trovo le soluzioni giuste)
Secondo voi e' possibile?
$f(x) = \pm a/((\pm x \pm c_1)* (\pm x \pm c_2)*(\pm x \pm c_3)*...) $
con $a$ e $c_n$ numeri qualsiasi, riesco a generare tanti asintoti verticali quante sono le $c$, che hanno equazione $x= \pm c$
Ma non mi soddisfa, ne' mi aiuta granche' sugli asintoti obliqui.
"Gugo82":
Per i primi due basta cercare nelle razionali fratte, tanto per andare sul semplice: insomma si tratta di determinare due polinomi "adeguati" $p,q$ e scrivere la funzione incognita $f$ come rapporto di $p/q$.
Riguardo al secondo punto ho trovato la funzione $f(x) = 1/((x-1)*(x+2))$: ha un asintoto orizzontale $y=0$ e due astintoti verticali $x=-2$ e $x=1$ (correggetemi se sbaglio!)
"Gugo82":
Per il terzo quesito basta anche considerare solo un polinomio di sesto grado.
Perche' proprio di SESTO grado? Del tipo? Ho provato a disegnare qualche grafico, ma senza successo.
Vorrei creare un algoritmo che mi crei (ad esempio) 500 funzioni casuali che abbiano quanti asintoti dico io (sebbene non ne abbia bisogno, il mio esercizio richiede solamente i tre punti citati prima, ma non ho voglia di provare a casaccio finche' non trovo le soluzioni giuste)
Secondo voi e' possibile?
per il primo punto, il grado del numeratore deve superare di uno il grado del denominatore. quindi, se anziché prendere $1/((x-1)*(x-2))$ prendi $(x^3)/((x-1)*(x-2))$, hai anche un asintoto obliquo oltre che due verticali.
... un polinomio di sesto grado con tutti i coefficienti diversi da zero ... oppure in maniera più semplice un prodotto di sei "binomi" di primo grado:
$x(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)$
... un polinomio di sesto grado con tutti i coefficienti diversi da zero ... oppure in maniera più semplice un prodotto di sei "binomi" di primo grado:
$x(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)$
Bene, sono riuscito a fare tutto.
Vi ringrazio tantissimo.
P.S: finalmente ho trovato un documento interessante sugli asintoti. E' leggibile anche dai non esperti in materia come me, ma e' in inglese:
http://rchsbowman.wordpress.com/2008/11 ... functions/
Vi ringrazio tantissimo.
P.S: finalmente ho trovato un documento interessante sugli asintoti. E' leggibile anche dai non esperti in materia come me, ma e' in inglese:
http://rchsbowman.wordpress.com/2008/11 ... functions/
"voxzzzisf":
- creare una funzione che abbia ESATTAMENTE tre massimi ed ESATTAMENTE due minimi.
Ti serve una funzione $f$ la cui derivata $f'$ prima abbia esattamente cinque zeri, tre intervalli di positività ed altrettanti di negatività.
Pare naturale andare a cercare tra i polinomi: infatti è molto facile costruire almeno un polinomio avente le caratteristiche richieste per $f'$ (basta prendere cinque numeri reali distinti $c_1,\ldots ,c_5$ e porre $f'(x)=-\prod_(i=1)^5(x-c_i)$, cosicché $f'$ si annulla solo in $c_1\ldots ,c_5$).
Una volta ottenuta $f'$ puoi integrare per ottenere la funzione cercata: infatti $f(x)=y_0+\int_0^xf'(x)" d"x$ (che è la primitiva di $f'$ che per $x=0$ assume il valore $y_0$, da scegliersi arbitrariamente) è un polinomio di sesto grado ed ha le caratteristiche richieste.
"Gugo82":
Ti serve una funzione $f$ la cui derivata $f'$ prima abbia esattamente cinque zeri, tre intervalli di positività ed altrettanti di negatività.
Ehehe c'ero gia riuscito, ma questa frase mi fa capire esattamente perche'.
E anche quanto sono meravigliose le derivate!!
Ormai vi posto anche il grafico di:
f(x) = -x(x+1)(x-2)(x+3)(x+2)(x-1).
Basta invertire il segno della funzione per trasformare i massimi in minimi e viceversa.
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