Invarianza della lunghezza di cammini parametrizzati $C^1$ equivalenti
Siano $\gamma:[a,b]->RR^n$ e $\mu:[\alpha,\beta]->RR^n$ due cammini parametrizzati di classe $C^1$ e $C^1$-equivalenti, allora $l(\gamma)=l(\mu)$.
Io ho fatto così:
sia $\varphi:[a,b]->[\alpha,\beta]$ il $C^1$-diffeomorfismo tale che $\gamma(t)=\mu(\varphi(t))$ $AAtin[a,b]$.
Abbiamo che $l(\gamma)=\int_a^b||\dot \gamma(t)|| dt=\int_a^b||\dot \mu(\varphi(t))||*abs(\varphi'(t)) dt$. Ora siccome $\varphi(t)$ è un $C^1$-diffeomorfismo allora o è strettamente crescente o è strettamente decrescente per cui: $\int_a^b||\dot \mu(\varphi(t))||*abs(\varphi'(t)) dt={(\int_a^b||\dot \mu(\varphi(t))||*\varphi'(t) dt ,if \varphi text{ è strettamente crescente}),(-\int_a^b||\dot \mu(\varphi(t))||*\varphi'(t)dt,if \varphitext{ è strettamente decrescente}):}$
In entrambi i casi applico la sostituzione $r=\varphi(t)$ (ricordando che se $\varphi$ è strettamente crescente allora $\varphi(a)=alpha$ e $\varphi(b)=beta$, se invece $\varphi$ è strettamente decrescente allora $\varphi(a)=beta$ e $\varphi(b)=alpha$) e ottengo: ${(\int_\alpha^\beta||\dot \mu(r)|| dr ,if \varphi text{ è strettamente crescente}),(-\int_\beta^\alpha||\dot \mu(r)||dr,if \varphitext{ è strettamente decrescente}):}=\int_\alpha^\beta||\dot \mu(r)|| dr=l(\mu)$
Va bene?
Io ho fatto così:
sia $\varphi:[a,b]->[\alpha,\beta]$ il $C^1$-diffeomorfismo tale che $\gamma(t)=\mu(\varphi(t))$ $AAtin[a,b]$.
Abbiamo che $l(\gamma)=\int_a^b||\dot \gamma(t)|| dt=\int_a^b||\dot \mu(\varphi(t))||*abs(\varphi'(t)) dt$. Ora siccome $\varphi(t)$ è un $C^1$-diffeomorfismo allora o è strettamente crescente o è strettamente decrescente per cui: $\int_a^b||\dot \mu(\varphi(t))||*abs(\varphi'(t)) dt={(\int_a^b||\dot \mu(\varphi(t))||*\varphi'(t) dt ,if \varphi text{ è strettamente crescente}),(-\int_a^b||\dot \mu(\varphi(t))||*\varphi'(t)dt,if \varphitext{ è strettamente decrescente}):}$
In entrambi i casi applico la sostituzione $r=\varphi(t)$ (ricordando che se $\varphi$ è strettamente crescente allora $\varphi(a)=alpha$ e $\varphi(b)=beta$, se invece $\varphi$ è strettamente decrescente allora $\varphi(a)=beta$ e $\varphi(b)=alpha$) e ottengo: ${(\int_\alpha^\beta||\dot \mu(r)|| dr ,if \varphi text{ è strettamente crescente}),(-\int_\beta^\alpha||\dot \mu(r)||dr,if \varphitext{ è strettamente decrescente}):}=\int_\alpha^\beta||\dot \mu(r)|| dr=l(\mu)$
Va bene?
Risposte
Sì, basta sostanzialmente fare una sostituzione nell'integrale come hai fatto tu.
(In realtà è sufficiente chiedere che la riparametrizzazione $\varphi$ sia debolmente monotòna e suriettiva per avere l'invarianza della lunghezza)
(In realtà è sufficiente chiedere che la riparametrizzazione $\varphi$ sia debolmente monotòna e suriettiva per avere l'invarianza della lunghezza)
"Lebesgue":
Sì, basta sostanzialmente fare una sostituzione nell'integrale come hai fatto tu.
(In realtà è sufficiente chiedere che la riparametrizzazione $\varphi$ sia debolmente monotòna e suriettiva per avere l'invarianza della lunghezza)
Ok, grazie mille
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