Intuitivo risultato di Analisi: fomalizzazione?

[Gaal Dornick]

è un risultato tutto sommato intuitivo, ma non riesco a formalizzarlo..

sia $f:RR->RR$ continua
$lim_(x->-oo)f(x)=0$ e $lim_(x->+oo)f(x)=0$
$forall x in RR: f(x)>0$

suppongo $f$ derivabile
$exists! a in RR s.t. f'(a)=0$

allora a è punto di massimo assoluto per $f$

boh.. ho una (mia) dimostrazione con $f in C^1(RR)$ ma mi sembra troppo artificiosa..

[Studente Anonimo]

Scusa non ho capito le ipotesi. Quando x tende a meno infinito la f(x) tende a zero, ok.. e poi perché hai riscritto la stessa cosa? Intendevi che fa 0 anche a + infinito?

[fu^2]

prima di tutto devi anche ipotizzare che f'(x)=0 ammette una sola soluzione che è x=a, se no non vale quello che hai detto.
detto questo:
per un caso banale, ossia quando la retta x=a è asse di simmetria per la funzione f(x) la dimostrazione è semplice...

dim: se f(x) è simmetrica rispetto a x=a, si può prendere un intervallo [c,b] circolare rispetto ad x=a tc f'(x) esista $AA_(x)in[c,b]$, a questo punto si ha che f(c)=f(b) e vale anche il th di rolle.


ed essendo che, visto che la funzione è descrscente per x>a e crescente per x

ora dovrei pensare al caso generale, ossia quando f(x) non è simmetrica rispetto a x=a

[Studente Anonimo]

Riepiloghiamo: se ho capito bene abbiamo una $f \in C^1(RR)$ tale che $f(x)>0$ per ogni $x \in RR$, e i limiti a più e a meno infinito fanno 0. Inoltre esiste un unico punto $a \in RR$ in cui la derivata si annulla. Si deve dimostrare che $a$ è di massimo assoluto per $f$.

Per assurdo: supponiamo esista un $b \in RR$ tale che $f(b)>f(a)$. Senza perdita in generalità possiamo supporre $b>a$. Allora per il teorema di Lagrange c'è tra $a$ e $b$ un $c$ tale che $f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)>0$. Naturalmente dovrà essere $a < c$ in quanto $0 = f'(a) \ne f'(c) > 0$. Ora, tra c e $+\infty$ c'è sicuramente un $d$ tale che $f(d) < f(c)/2$, in quanto il limite all'infinito è zero e quindi "la funzione è definitivamente più piccola di ogni positivo fissato". Quindi $d>c$ e $f(d)0$, $f'(e)<0$. Poiché $f \in C^1(RR)$, la $f'$ è continua, e quindi per il teorema degli zeri esiste tra c ed e un k tale che $f'(k)=0$. Assurdo perché a

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[Gaal Dornick]

si, era il limite a + e - infinito.. ora correggo

la dimostrazione che dai tu era quella che avevo pensato io (anche se ringrazio per la formalizzazione ben più chiara)

solo che mi domandavo se c'era qualche altro modo.. volevo sfruttare (ma non so come) il teorema di Weierstrass restringendo la funzione ad un compatto (che contenesse il punto critico), e applicando qui Weierstrass.. e così data l'arbitrarietà del compatto è un massimo assoluto

ma non riesco

[irenze]

Beh, per continuità poiché i limiti sono $0$ esiste un $M$ tale che per $|x| > M$ la funzione sta sempre sotto $f(a)/2$ (questo lo puoi dire in generale, anche se ancora non sai che è un punto di max).
Scegli allora come compatto $|x| \le M$.

Con un compatto arbitrario non vedo come potresti fare...