$\int((sen2x(5sen3x-7cos3x))/(2cos^2(2x) +2sen^2(2x))) dx$

[giuppyru-votailprof]

$y'' +4y= 5sen3x-7cos3x$

Durante la risoluzione di questa equazione trovo il seguente integrale:

$\int((sen2x(5sen3x-7cos3x))/(2cos^2(2x) +2sen^2(2x))) dx$

Ho pensato che:

$2cos^2(2x)+2sen^2(2x)=2$ giusto???

Anche se così fosse non riesco a risolvere l'integrale.

Attendo vostri suggerimenti...Grazie

[NightKnight1]

Sì, giusto. Per integrare il prodotto di due funzioni trigonometriche prova a usare le formule di Werner.

[gugo82]

Perchè usare il metodo di Lagrange quando il termine noto è in forma comoda?

[giuppyru-votailprof]

Perchè la traccia dell'esercizio era proprio di usare quel metodo

[faximusy]

$sin\alpha-sin\beta=2sin((\alpha-\beta)/2)cos((\alpha+\beta)/2)$, e vedrai che ti si semplifica moltissimo

Cioè: poni $2=((\alpha-\beta)/2)$ e $3=((\alpha+\beta)/2)$, quindi risolto questo sistema hai $\alpha=5, \beta=1$



NB: nel caso $sen2xsen3x$, si usa lo stesso procedimento, ma la formula diventa ovviamente:

$cos\alphasin\beta=1/2(sen(\alpha+\beta)-sen(\alpha-\beta))$


Ho provato a scrivere le formule di Werner in due modi diversi

[ramco88]

non so se ho capito bene il problema.
se si tratta semplicemente di risolvere l'integrale io farei in questo modo:

come hai giustamente detto tu il denominatore può essere ridotto a due e portare fuori un mezzo
$(1/2)\int(5sen2xsen3x-7sen2xcos3x)dx$
possiamo quindi studiare separatamente i due integrali
$5\int(sen2xsen3x)dx$ e $7\int(sen2xcos3x)dx$
possiamo adesso usare le formule di prostaferesi per semplificare i calcoli, precisamente prese da wikipedia utilizziamo rispettivamente la quarta e la seconda ai due integrali
$-2sen((a+b)/2)sen((a-b)/2)=cos(a)-cos(b)$
$2cos((a+b)/2)sen((a-b)/2)=sen(a)-sen(b)$
poniamo $(a+b)/2=3$ e $(a-b)/2=1$ troviamo $(a)$ e $(b)$
moltiplichiamo e dividiamo per $-2$ il primo e moltiplichiamo e dividiamo per $2$ il secondo
$(-5/2)\int(-2)(sen2xsen3x)dx=(-5/2)\intcos5xdx +(5/2)\intcosxdx$
$(7/2)\int(2)(sen2xcos3x)dx=(7/2)\intsen5xdx -(7/2)\intsenxdx$
facilmente risolvibile.
per quanto riguarda l'equazione differenziale io avrei proceduto in maniera diversa....se ti interessa fammi sapere che ti posto la mia soluzione.
comunque dai un'occhiata ai calcoli casomai ho fatto qualche errore