Introduzione derivate direzionali
Nel libro di analisi la definizione di derivata direzionale viene preceduta dal seguente paragrafo che non riesco a comprendere.
Ricordiamo che, se $ x_0 in RR^n $ e $ v in RR^n $, la mappa $ r_v:RR->RR^n , r_v(t):=x_0+vt $ è costantemente $ x_0 $ se $ v=0 $ ed è la parametrizzazione di una retta passante per $ x_0 $ a $ t=0 $ percorsa con velocità costante $ v $.
E fin qui torna tutto poi segue:
Esiste allora $ epsi_0>0 $ tale che $ B(x_0,epsi_0) sub A $ e dunque per ogni $ vinRR^n $ $ r_v(t)in A $ se $ |t|<=epsi_0/|v| $ ( $ t inRR $ se $ v=0 $ ). Per ogni funzione $ f:A->RR $, la funzione composta $ phi _v(t):=f(x_0+tv) $ , $ tinr^-1(A) $ è definita almeno sull'intervallo $ |t|
1)Non riesco a capire $ r_v(t)in A $ se $ |t|<=epsi_0/|v| $? $ r_v(t)$ non dovrebbe essere contenuta in $ B(x_0,epsi_0) $ invece di $ A $ ?
2) Quale potrebbe essere una possibile interpretazione geometrica di qeusto paragrafo?
Grazie
Ricordiamo che, se $ x_0 in RR^n $ e $ v in RR^n $, la mappa $ r_v:RR->RR^n , r_v(t):=x_0+vt $ è costantemente $ x_0 $ se $ v=0 $ ed è la parametrizzazione di una retta passante per $ x_0 $ a $ t=0 $ percorsa con velocità costante $ v $.
E fin qui torna tutto poi segue:
Esiste allora $ epsi_0>0 $ tale che $ B(x_0,epsi_0) sub A $ e dunque per ogni $ vinRR^n $ $ r_v(t)in A $ se $ |t|<=epsi_0/|v| $ ( $ t inRR $ se $ v=0 $ ). Per ogni funzione $ f:A->RR $, la funzione composta $ phi _v(t):=f(x_0+tv) $ , $ tinr^-1(A) $ è definita almeno sull'intervallo $ |t|
1)Non riesco a capire $ r_v(t)in A $ se $ |t|<=epsi_0/|v| $? $ r_v(t)$ non dovrebbe essere contenuta in $ B(x_0,epsi_0) $ invece di $ A $ ?
2) Quale potrebbe essere una possibile interpretazione geometrica di qeusto paragrafo?
Grazie
Risposte
1) Dovrebbe; ma \(B(x_0,\varepsilon_0) \subset A\), quindi a maggior ragione il punto \(r_v(t)\) è in \(A\) per \(t\) "piccoli".
2) Se un punto \(x_0\) è interno ad un insieme \(A\), ogni retta del fascio proprio passante per tale punto ha in comune con \(A\) i punti di un segmento non degenere (i.e., non ridotto al solo punto \(x_0\)); in particolare, sono contenuti in \(A\) tutti i diametri di una palla avente centro in \(x_0\) e raggio \(\varepsilon_0\) sufficientemente "piccolo".
2) Se un punto \(x_0\) è interno ad un insieme \(A\), ogni retta del fascio proprio passante per tale punto ha in comune con \(A\) i punti di un segmento non degenere (i.e., non ridotto al solo punto \(x_0\)); in particolare, sono contenuti in \(A\) tutti i diametri di una palla avente centro in \(x_0\) e raggio \(\varepsilon_0\) sufficientemente "piccolo".
Grazie mille!! Molto chiaro!!
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