Introduzione alle equazioni differenziali: domande basilari

[giogiomogio]

ciao a tutti settimana scorsa abbiamo iniziato le equazioni differenziali (siamo proprio agli inizi), però l'argomento è interessante, e mi piace
c'erano però alcune cose che preferirei chiarire da subito per evitare problemi futuri, vi ricopio alcuni passaggi del prof di un problema inerente al decadimento radioattivo. Il problema l'ho capito, i passaggi più o meno anche, ma c'era una cosa che non mi ha convinto molto, ora vi mostro i passaggi:

$N(t)=$numero di atomi ad un dato istante $t$
$P=lambda*\Deltat=$probabilità che un atomo decada in un $\Deltat$
quindi:

$N(t+\Deltat)-N(t)=-PN(t)$ giustamente si equivalgono perche entrambe mi dicono quanti atomi decadono in un $\Deltat$
$(N(t+\Deltat)-N(t))/\(Deltat)=-lambda*N(t)$ semplicemente divisione per $\Deltat$

$lim_(\Deltat-> 0)(N(t+\Deltat)-N(t))/\(Deltat) =lim_(\Deltat-> 0)-lambda*N(t) $ si fa il limite da entrambe le parti

$N'(t)=-lambda*N(t)$ facendo il limite sul primo membro è chiaro che ho una derivata ma sul secondo membro non sono cosi convinto che $lim_(\Deltat-> 0)-lambda*N(t)=-lambda*N(t)$ perche dovrebbe fare $-lambda*N(t)$ ?

e fino qui non ho capito solo l'ultimo passaggio.
Poi continuando in termini di differenziali si ottiene che:
$(dn)/dt=-\lambda N$ qui invece non ho capito sul secondo membro come sia possibile passare da $N(t)$ a $N$

e vi spiego subito il perche non ho capito: prendendo in considerazione la formula delle equazioni differenziali di primo ordine, e cioè:

$y'+a(x)y=f(x)$ dove se $f(x)=0$ allora $f(x)$ è omogena.
abbiamo che:

$y'=-a(x)y$
quindi
$dy/dx=-a(x)y$ ecco perche in questo caso $a(x)$ rimane tale mentre prima $N(t)$ è diventata $N$ ???

grazie

[giammaria2]

[xdom="giammaria"]Non so bene se spostare in fisica o in analisi; faccio quest'ultima scelta in considerazione del titolo.[/xdom]