Intregrale doppio esercizio
Salve a tutti. Oggi mi è uscito questo esercizio in un esame di Analisi II, nonostante pensavo di essere abbastanza ferrato sull'argomento questo mi ha completamente spiazzato e pensavo che magari qualcuno potesse aiutarmi a capire come svolgerlo. Grazie in anticipo a tutti 
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Calcolare il volume del dominio compreso tra la superficie grafico della funzione:
\( \frac{1}{\sqrt[4]{{(x-1)^2+ (y-1)^2}}} \)
ed il cerchio di centyro (1,1) e raggio R.
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Ho capito che si tratta di un calcolo di un integrale doppio sul dominio \( D= [(x,y) \in \mathfrak{R^2} : (x-1)^2 + (y-1)^2 = R^2] \) ma non capisco come continuare nel calcolo dell'integrale, ed inoltre il fatto che la funzione non è definita in (1,1) mi destabilizza.
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Calcolare il volume del dominio compreso tra la superficie grafico della funzione:
\( \frac{1}{\sqrt[4]{{(x-1)^2+ (y-1)^2}}} \)
ed il cerchio di centyro (1,1) e raggio R.
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Ho capito che si tratta di un calcolo di un integrale doppio sul dominio \( D= [(x,y) \in \mathfrak{R^2} : (x-1)^2 + (y-1)^2 = R^2] \) ma non capisco come continuare nel calcolo dell'integrale, ed inoltre il fatto che la funzione non è definita in (1,1) mi destabilizza.
Risposte
Ciao Ricx,
Mah, se ho capito bene l'integrale doppio proposto è il seguente:
$\int\int_D f(x,y) \text{d}x \text{d}y $
ove $D := {(x,y) \in \RR^2: (x-1)^2 + (y-1)^2 <= R^2} $ e $f(x,y) := \frac{1}{\root[4]{(x-1)^2+ (y-1)^2}} $
Se è così, non ti basta passare alle coordinate polari traslate?
Mah, se ho capito bene l'integrale doppio proposto è il seguente:
$\int\int_D f(x,y) \text{d}x \text{d}y $
ove $D := {(x,y) \in \RR^2: (x-1)^2 + (y-1)^2 <= R^2} $ e $f(x,y) := \frac{1}{\root[4]{(x-1)^2+ (y-1)^2}} $
Se è così, non ti basta passare alle coordinate polari traslate?
Hai ragione (scusa anche per l'uguale in D, mi ero confuso), ma volendo risolverlo con la riduzione oppure con le formule di Gauss-Green come si può procedere?
"Ricx":
volendo risolverlo con la riduzione oppure con le formule di Gauss-Green come si può procedere?
Si può fare anche con la riduzione, ma perché cercare rogna quando utilizzando la trasformazione in coordinate polari traslate
$\{(x - 1 = \rho cos\theta),(y - 1 = \rho sin\theta):}$
con $0 <= \rho <= R $, $ 0 <= \theta < 2\pi $ e $|J| = \rho $ l'integrale doppio proposto diventa praticamente immediato?
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