Intregrale Doppio
mi aiutate con questo integrale
$\int int_A y^2 dxdy$ con
A=$[(x,y)inR^2: (x^2+y^2)^3-y^2<0]$
ho provato a fare
$x=rhocos(theta)$
$y=rhosin(theta)$
quindi sostituendo avrò $(rho)^6<(rho)^2(sin(theta))^2$
quindi $rho^4
$\int int_A y^2 dxdy$ con
A=$[(x,y)inR^2: (x^2+y^2)^3-y^2<0]$
ho provato a fare
$x=rhocos(theta)$
$y=rhosin(theta)$
quindi sostituendo avrò $(rho)^6<(rho)^2(sin(theta))^2$
quindi $rho^4
Risposte
l'equazione polare della curva $(x^2+y^2)^3-y^2=0$ è $rho=sqrt(|sintheta|)$
non ci sono vincoli riguardo a $theta$
quindi,$theta in [0,2pi],rho in [0,sqrt(|sintheta|)]$
non ci sono vincoli riguardo a $theta$
quindi,$theta in [0,2pi],rho in [0,sqrt(|sintheta|)]$
Osserva che la curva che delimita il dominio può riscriversi in forma esplicita come l'unione delle due curve (simmetriche rispetto a entrambi gli assi)
$$x=\pm\sqrt{y^{2/3}-y^2}$$
A causa di questa simmetria, puoi dedurre che $\theta\in[0,2\pi]$. In ogni caso l'integrale si risolve anche in forma cartesiana con le condizioni
$$-\sqrt{y^{2/3}-y^2}< x<\sqrt{y^{2/3}-y^2},\quad -1\le y\le 1$$
(la condizione per $y$ la trovi risolvendo $y^{2/3}-Y^2\ge 0$.
$$x=\pm\sqrt{y^{2/3}-y^2}$$
A causa di questa simmetria, puoi dedurre che $\theta\in[0,2\pi]$. In ogni caso l'integrale si risolve anche in forma cartesiana con le condizioni
$$-\sqrt{y^{2/3}-y^2}< x<\sqrt{y^{2/3}-y^2},\quad -1\le y\le 1$$
(la condizione per $y$ la trovi risolvendo $y^{2/3}-Y^2\ge 0$.
"stormy":
l'equazione polare della curva $(x^2+y^2)^3-y^2=0$ è $rho=sqrt(|sintheta|)$
non ci sono vincoli riguardo a $theta$
quindi,$theta in [0,2pi],rho in [0,sqrt(|sintheta|)]$
allora, ok per $rho=sqrt(|sintheta|)$ ma non ho capito perchè poi teta è compreso tra 0 e 2 pi greco e perchè
$rho in [0,sqrt(|sintheta|)]$, lo devo che c'entra?
scusa,puoi aggiustare ciò che hai scritto ?
si scusa, fatto
in generale,quando hai un'equazione polare $rho=f(theta)$ essa è definita nei $theta$ per i quali $rho geq 0$
che significa "lo devo che c'entra" ?
che significa "lo devo che c'entra" ?
ho sbagliato a scrivere, intendevo lo zero che c'entra, però a questo penso che mi hai appena risposto
continuo a non capire il valore di teta, se ho che $rho>=0$ e che
$sqrt(sin(theta))=rho$
allora $sqrt(sin(theta))=rho>=0$ e quindi non dovrei avere
$sqrt(sin(theta))>=0$ ovvero $ sin(theta)>=0$ e quindi $theta$ compreso tra 0 e pi greco?
continuo a non capire il valore di teta, se ho che $rho>=0$ e che
$sqrt(sin(theta))=rho$
allora $sqrt(sin(theta))=rho>=0$ e quindi non dovrei avere
$sqrt(sin(theta))>=0$ ovvero $ sin(theta)>=0$ e quindi $theta$ compreso tra 0 e pi greco?
non hai $sentheta$ ma $|sentheta|$
ah ok, giusto, quindi da questo ricavo che teta è compreso tra 0 e 2 pi greco
puoi aiutarmi con questo?
$\int int_A x/(x^2+y^2)^2 dxdy$
con $A=[(x,y)inR^2: x^2+y^2<=1, y>=1-x]$
polarizzando il primo termine non da problemi, ma il secondo diventa
$rhosin(theta)+cos(theta)>=1$ che non so come risolverlo
ho provato anche a vederli come luoghi geometrici, il primo è una circonferenza, il secondo non ne ho idea
$\int int_A x/(x^2+y^2)^2 dxdy$
con $A=[(x,y)inR^2: x^2+y^2<=1, y>=1-x]$
polarizzando il primo termine non da problemi, ma il secondo diventa
$rhosin(theta)+cos(theta)>=1$ che non so come risolverlo
ho provato anche a vederli come luoghi geometrici, il primo è una circonferenza, il secondo non ne ho idea
Se disegni il dominio, ti renderai conto che esso è dato dalla parte interna alla circonferenza di centro l'origine e raggio 1 e sopra la retta di equazione $y=1-x$. Poiché le intersezioni tra le due curve sono i punti $A(1,0),\ B(0,1)$. Questo ti porta a suddividere il dominio in due parti:
per $\theta\in[0,\pi/2]$ abbiamo $0\le\rho\le 1/{\cos\theta+\sin\theta}$
per $\theta\in[\pi/2,2\pi]$ abbiamo $0\le\rho\le 1$
per $\theta\in[0,\pi/2]$ abbiamo $0\le\rho\le 1/{\cos\theta+\sin\theta}$
per $\theta\in[\pi/2,2\pi]$ abbiamo $0\le\rho\le 1$
quindi viene così http://digilander.libero.it/gilmao/Prec ... age098.jpg
per questo motivo integro teta prima tra 0 e pi greco mezzi e poi tra pi greco mezzi e 2 pi greco, giusto?
per questo motivo integro teta prima tra 0 e pi greco mezzi e poi tra pi greco mezzi e 2 pi greco, giusto?
poi perchè integriamo tra pi greco mezzi e 2 pi greco, non ci interessa solo la lunetta di sopra?
sì,è vero, ci interessa solo la parte del cerchio che si trova al di sopra della retta $y=1-x$
quindi,$theta in [0,pi/2]$
quindi,$theta in [0,pi/2]$
ok, grazie
ora questo è l'ultimo che ti chiedo
calcolare
$\int int_(TnnA) 1/sqrt(x^2+y^2)$
dove T è il triangolo di vertici (0,0),(1,1),(2,0) e$ A=[(x,y)inR^2: x^2+y^2>2]$
con le coordinate orizzontali visto la difficoltà dell'integrale di partenza viene una cosa impossibile, come si può fare a trasformare in coordinate polari?
io ho preso le coordinate $x^2+y^2>2$ quindi ponendo
$\{(x=rhocos(theta)),(y=rhosin(theta)):}$
quindi $rho>2 $
poi trovo la retta che delimita l'area, ovvero la retta passante per (1,1) e (2,0) quindi y<2-x perciò
$rho<2/(sin(theta)+cos(theta)) $ quindi
$2
per l'angolo invece basta trovare l'angolo che forma la retta passante per (0,0) e (1,1) con l'asse x? ovvero pi greco quarti
ora questo è l'ultimo che ti chiedo
calcolare
$\int int_(TnnA) 1/sqrt(x^2+y^2)$
dove T è il triangolo di vertici (0,0),(1,1),(2,0) e$ A=[(x,y)inR^2: x^2+y^2>2]$
con le coordinate orizzontali visto la difficoltà dell'integrale di partenza viene una cosa impossibile, come si può fare a trasformare in coordinate polari?
io ho preso le coordinate $x^2+y^2>2$ quindi ponendo
$\{(x=rhocos(theta)),(y=rhosin(theta)):}$
quindi $rho>2 $
poi trovo la retta che delimita l'area, ovvero la retta passante per (1,1) e (2,0) quindi y<2-x perciò
$rho<2/(sin(theta)+cos(theta)) $ quindi
$2
per l'angolo invece basta trovare l'angolo che forma la retta passante per (0,0) e (1,1) con l'asse x? ovvero pi greco quarti
Disegnando i grafici del triangolo e della circonferenza, noti che esse si intersecano in $(1,1)$. Puoi dedurre sbito che $\theta\in[0,\pi/4]$. Inoltre, come vedi il raggio $\rho$ si trova limitato dalla circonferenza, per cui $\rho>\sqrt{2}$ e dal lato di equazione $y=2-x$ del triangolo, per il quale, in coordinate polari si ha $\rho(\sin\theta+\cos\theta)=2$, e quindi
$$\sqrt{2}<\rho<\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}$$
$$\sqrt{2}<\rho<\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}$$
ok perfetto, come avevo detto io (al posto di $sqrt2$ avevo scritto 2 XD)
solo che poi arrivo a
$sqrt2+\int_0^(pi/4) (2d(theta))/(cos(theta)+sin(theta))$
e non riesco a fare questo integrale, usando le formule parametriche ottengo
$\int (4d(t))/(-t^2+2t+1)$
ma non riesco a proseguire
solo che poi arrivo a
$sqrt2+\int_0^(pi/4) (2d(theta))/(cos(theta)+sin(theta))$
e non riesco a fare questo integrale, usando le formule parametriche ottengo
$\int (4d(t))/(-t^2+2t+1)$
ma non riesco a proseguire
è un integrale razionale fratto con $Delta>0$
quindi solita tecnica ,scrivi il denominatore come prodotto di 2 polinomi di primo grado $p_1(t),p_2(t)$ , scrivi l'integrando nella forma $A/(p_1(t))+B/(p_2(t))$ e ti ricavi $A$ e $B$
quindi solita tecnica ,scrivi il denominatore come prodotto di 2 polinomi di primo grado $p_1(t),p_2(t)$ , scrivi l'integrando nella forma $A/(p_1(t))+B/(p_2(t))$ e ti ricavi $A$ e $B$
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