Intorno sinistro...

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Salve a tutti! Oggi sono in cerca di risposte...

Sto svolgendo questo esercizio:

Definisco $ A={x:x in R, |1-x|<2}uu {5} $

1) Determinare sup(A) e inf(A), specificando se si tratta di massimo e minimo.
2) Stabilire se $ A $ è un insieme aperto.
3) Stabilire per quali valori reali di $ x_0 $ si ha che $ A $ risulta intorno sinistro di $ x_0 $.

Io ho svolto l'esercizio in questa maniera:

1) Ho risolto la disequazione ed ho trovato che all'insieme appartengono gli intervalli $ -1
2)Credo che A non sia un insieme aperto perchè il punto $ x=5 $ non dovrebbe essere un insieme aperto.

3)Ecco il problema principale, ammesso che il resto sia esatto, è qui... a me verrebbe da dire che $ x_0>5 $ sono tutti valori per i quali ho che A è intorno sinistro di $ x_0 $.

Vi ringrazio per qualsiasi aiuto vogliate offrirmi

[Plepp]

2) $A$ non è aperto perché $x=5$ non è interno ad $A$.

3) Dipende da quale definizione di intorno sinistro utilizzi, ma quello che dici è falso per qualsiasi ragionevole definizione di intorno sinistro Se chiamiamo intorno sinistro di $x_0$ un intervallo del tipo $(x_0-\delta,x_0]$, allora nessun $x_0\in A\setminus \{5\}$ ha $A$ come intorno sinistro. Se decidiamo di estendere la definizione a un qualunque insieme aperto che contenga un intervallo del tipo precedente, ogni $x_0\in A\setminus \{5\}$ va bene.

Ciao

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Cerco di ragionare su quello che mi hai scritto e vado a rileggermi un pò di teoria che sicuramente mi fa bene... grazie per la risposta!

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Credo di aver capito di aver frainteso la domanda... io avevo inteso la domanda 3 come:

"Per quali valori reali l'insieme A è compreso in un opportuno intorno sinistro di $ x_0 $?"

Invece, come ho scritto, chiede per quali valori si ha che A risulta intorno sinistro di $ x_0 $.

Perciò non ho A come intorno perchè all'interno dell'intorno esisterebbero dei valori che non sono inclusi in A, ma potrei sempre trovare un intorno sinistro che contiene A preso un $ x_0 $ $ >5 $ ... giusto?

Come definizione considero intorno sinistro di un punto $ x_0 $ la scrittura $ (x_0-delta ,x_0) $

Per interdeci se non avessi la limitazione $ x=5 $ e considerassi valori dell'insieme A solo $ -1

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Qualcuno conferma o smentisce il mio pensiero?