Intorno funzione implicita
Ho questo esercizio
$ y(x)=e^x+x^4 $
devo verificare che esiste un intorno del punto x=0 nel quale y(x) è invertibile ed, inoltre, detta x=g(y) la funzione inversa della restrizione y(x) ad I, devo scrivere la formula di Taylor di ordine 2 di g(y) nel punto y=1.
Premetto che la seconda parte non so proprio come farla, ma mi sono fermato solo alla prima perché non sono riuscito a verificare che esiste l'intorno.
Prendo la funzione
$ F(x,y)=e^x+x^4-y $
Risulta
$ F(0,0)=1 $ (Non viene rispettata questa condizione del teorema del Dini)
$ F_y(0,0)=-1!= 0 $
Ho il sospetto di aver sbagliato qualcosa, perché credo che la funzione sia invertibile nell'intorno x=0.
Vi ringrazio per l'aiuto
$ y(x)=e^x+x^4 $
devo verificare che esiste un intorno del punto x=0 nel quale y(x) è invertibile ed, inoltre, detta x=g(y) la funzione inversa della restrizione y(x) ad I, devo scrivere la formula di Taylor di ordine 2 di g(y) nel punto y=1.
Premetto che la seconda parte non so proprio come farla, ma mi sono fermato solo alla prima perché non sono riuscito a verificare che esiste l'intorno.
Prendo la funzione
$ F(x,y)=e^x+x^4-y $
Risulta
$ F(0,0)=1 $ (Non viene rispettata questa condizione del teorema del Dini)
$ F_y(0,0)=-1!= 0 $
Ho il sospetto di aver sbagliato qualcosa, perché credo che la funzione sia invertibile nell'intorno x=0.
Vi ringrazio per l'aiuto
Risposte
Che c'entra il teorema del Dini? Non ti serve qui, perché hai già una funzione espressa in forma esplicita: \(y\) è funzione della \(x\). (E comunque, contrariamente a quanto dici, il teorema del Dini è banalmente applicabile all'equazione $F(x, y)=0$, perché $F(0, 1)=0$. Leggi bene la traccia, c'è scritto $y=1$. E difatti, quando $x=0$, abbiamo che $y(0)=1$).
Questo è un esercizio di Analisi 1.
Questo è un esercizio di Analisi 1.
OK, mi trovo con quello che dici. Adesso dovrei trovarmi la funzione inversa e cioé dovrei trovarmi la x in funzione della y per continuare l'esercizio. Il mio problema è che come faccio se ho sia $ e^x $ e $ x^4 $ ad un membro. L'unico passaggio che mi viene in mente di fare è questo $ x=log(y-x^4)$, ma mi rimane sempre una x dall'altro lato.
Non si fa così. Anzi, tutto il succo dell'esercizio sta nel fatto che non ti puoi trovare esplicitamente la funzione inversa.
E come si fa? Provo a farla, ma non so se scrivo un'eresia adesso.
Ho che $ x=g(y) $ scrivo che $ y(g(y))=e^(g(y))+g(y)^4 $.
Sviluppo taylor
$ y(g(y))=1+g(y)+g(y)^2/2+g(y)^4 $
Ho che $ x=g(y) $ scrivo che $ y(g(y))=e^(g(y))+g(y)^4 $.
Sviluppo taylor
$ y(g(y))=1+g(y)+g(y)^2/2+g(y)^4 $
Nessuno sa aiutarmi con la continuazione del mio esercizio?
C'è la versione "analisi 1" del teorema della funzione inversa che ti risolve tutti i problemi. Infatti, per mostrare che esiste un intorno di \(x=0\) in cui la funzione è invertibile, ti basta calcolare la derivata $dy/dx(0)$; se non si annulla, la funzione è localmente invertibile (i.e. esiste un intorno tale che eccetera). E questo risolve il punto 1. Per risolvere il punto due basta usare la formula
\[
\frac{dx}{dy}=\frac{1}{dy/dx},
\]
e ridurre il problema al calcolo di derivate della funzione $x=x(y)$. Fine.
\[
\frac{dx}{dy}=\frac{1}{dy/dx},
\]
e ridurre il problema al calcolo di derivate della funzione $x=x(y)$. Fine.
Ho provato ad usare la formula che mi hai dato.
Se i miei calcoli sono giusti e ho capito bene, dovrebbe risultare così
$ dx/dy=1/(e^x+4x^3) $
Ponendo $ x=x(y) $
$ 1/(e^(x(y))+4x(y)^3) = 1/(1+x(y)+x(y^2)/2+4X(y)^3)=2/(2+2x(y)+x(y)^2+8x(y)^3) $
Quest'ultimo passaggio dovrebbe essere il risultato. Però dovrei completarlo con y=1.Mi dai una conferma? Ti ringrazio per l'attenzione per la disponibilità.
Se i miei calcoli sono giusti e ho capito bene, dovrebbe risultare così
$ dx/dy=1/(e^x+4x^3) $
Ponendo $ x=x(y) $
$ 1/(e^(x(y))+4x(y)^3) = 1/(1+x(y)+x(y^2)/2+4X(y)^3)=2/(2+2x(y)+x(y)^2+8x(y)^3) $
Quest'ultimo passaggio dovrebbe essere il risultato. Però dovrei completarlo con y=1.Mi dai una conferma? Ti ringrazio per l'attenzione per la disponibilità.
Ma non è che devi usare la formula "che io ti ho dato". Mi pare strano che tu cada dalle nuvole così. Non hai studiato questo teorema in Analisi 1?
Comunque non si fa così. Devi calcolare le derivate di $x=x(y)$ nel punto $y=1$. Questo punto corrisponde al punto $x=0$. Dunque calcoliamo
\[
\frac{dy}{dx}(0)=1.\]
Per il teorema della funzione inversa abbiamo che
\[
\frac{dx}{dy}(1)=\frac{1}{1}=1.
\]
Chiaro come si usa? Spero di si, ma ho dei dubbi vedendo cosa hai scritto prima. Se non hai chiaro il teorema devi prendere il libro di Analisi 1 e studiarlo. E' un teorema facile, ti conviene.
Comunque non si fa così. Devi calcolare le derivate di $x=x(y)$ nel punto $y=1$. Questo punto corrisponde al punto $x=0$. Dunque calcoliamo
\[
\frac{dy}{dx}(0)=1.\]
Per il teorema della funzione inversa abbiamo che
\[
\frac{dx}{dy}(1)=\frac{1}{1}=1.
\]
Chiaro come si usa? Spero di si, ma ho dei dubbi vedendo cosa hai scritto prima. Se non hai chiaro il teorema devi prendere il libro di Analisi 1 e studiarlo. E' un teorema facile, ti conviene.
Purtroppo faccio un po' fatica a capire questo teorema di cui mi parli. Ho fatto come mi hai consigliato, ma, cercando la formula all'interno del libro di analisi I dove non vengono per nulla trattate le funzioni implicite(infatti, mi ricordavo di non averle fatte) e cercando anche nel libro di analisi II non le trovo menzionate da nessuna parte. Uso il libro di "Elementi di analisi matematica II" Fusco Marcellini Sbordone.
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