Intorno di c
Qualcuno saprebbe spiegarmi perché l'intorno di c è ogni sottoinsieme di R che contenga un aperto di R contenente c??? Perché il sottoinsieme non potrebbe essere chiuso???
Risposte
E' una definizione, e quindi è così e basta, si poteva anche definire le cose diversamente.
Detto questo, si può discutere su cosa ha portato a scegliere questa definizione.
Se $c in RR$, per intorno intuitivamente si intende un intervallino attorno al punto, oppure un insieme che contenga un intervallino attorno al punto (effettivamente non importa se aperto o chiuso o nessuna delle due, però se è aperto siamo sicuri che $c$ sia interno, altrimenti bisogna specificarlo).
Se $c in RR^2$, per intorno si intende un insieme che contenga il punto al suo interno (anche qui non importa se aperto, chiuso o nessuna delle due), ma non possiamo più parlare di intervallo.
Analogamente in $RR^3$.
Ci serve allora un modo per definire questo concetto intuitivo in generale.
Un modo allora è proprio di dire che un intorno deve contenere un aperto contenente il punto. Perchè siamo sicuri che aperto basti per soddisfare questa idea? Beh, perchè tutti i punti di un aperto sono interni ad esso.
Se avessimo scelto chiuso, andava bene lo stesso?
No, perchè se scegliamo un chiuso contenente $c$, questo non è detto che sia interno all'insieme chiuso.
In sintesi:
- In $RR$, che è quello di cui hai chiesto, si potrebbe definire un intorno di $c$ come un insieme contenente un intervallino tale che il punto $c$ sia al suo interno; se diciamo che l'intervallo è aperto, siamo sicuri che $c$ sia interno, senza bisogno di specificarlo;
- In altri insiemi la nozione di intervallo si perde, e la nozione di insieme aperto rende bene l'idea intuitiva che si ha di intorno.
Spero di essere stato abbastanza chiaro.
Detto questo, si può discutere su cosa ha portato a scegliere questa definizione.
Se $c in RR$, per intorno intuitivamente si intende un intervallino attorno al punto, oppure un insieme che contenga un intervallino attorno al punto (effettivamente non importa se aperto o chiuso o nessuna delle due, però se è aperto siamo sicuri che $c$ sia interno, altrimenti bisogna specificarlo).
Se $c in RR^2$, per intorno si intende un insieme che contenga il punto al suo interno (anche qui non importa se aperto, chiuso o nessuna delle due), ma non possiamo più parlare di intervallo.
Analogamente in $RR^3$.
Ci serve allora un modo per definire questo concetto intuitivo in generale.
Un modo allora è proprio di dire che un intorno deve contenere un aperto contenente il punto. Perchè siamo sicuri che aperto basti per soddisfare questa idea? Beh, perchè tutti i punti di un aperto sono interni ad esso.
Se avessimo scelto chiuso, andava bene lo stesso?
No, perchè se scegliamo un chiuso contenente $c$, questo non è detto che sia interno all'insieme chiuso.
In sintesi:
- In $RR$, che è quello di cui hai chiesto, si potrebbe definire un intorno di $c$ come un insieme contenente un intervallino tale che il punto $c$ sia al suo interno; se diciamo che l'intervallo è aperto, siamo sicuri che $c$ sia interno, senza bisogno di specificarlo;
- In altri insiemi la nozione di intervallo si perde, e la nozione di insieme aperto rende bene l'idea intuitiva che si ha di intorno.
Spero di essere stato abbastanza chiaro.
si sei stato molto più che chiaro,direi esaustivo,quindi in $\mathbb{R^n}$ possiamo definire un intorno di c come intervallo aperto di c (invece che direun sottoinsieme di R^n in cui c sta all'interno di esso
Scusa ho un ultimo dubbio,non puoi definire intervallo in \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) perché intervallo è un concetto in una dimensione??? Mentre l'intorno in due dimensioni può essere un cerchio???e così in più dimensioni??.
Il fatto dell'intorno aperto è chiaro grazie
Il fatto dell'intorno aperto è chiaro grazie
"Ariz93":
in $\mathbb{R^n}$ possiamo definire un intorno di c come intervallo aperto di c (invece che direun sottoinsieme di R^n in cui c sta all'interno di esso
In $R^n$ non si parla di intervallo, forse volevi dire insieme. Infatti, in $RR^n$ si definisce un intorno di $c$ come un insieme contenente un aperto contenente $c$.
"Ariz93":
Scusa ho un ultimo dubbio,non puoi definire intervallo in \( \displaystyle \mathbb{R}^2 \) perché intervallo è un concetto in una dimensione??? Mentre l'intorno in due dimensioni può essere un cerchio???e così in più dimensioni??.
Esattamente, l'intervallo lo definisci come un insieme di numeri da $a$ a $b$ (con estremi che possono essere inclusi o esclusi).
In più dimensioni non è possibile ordinare i punti alla stessa maniera, cioè in modo tale che presi due punti puoi dire quale viene prima e quale dopo (tecnicamente non si può definire un ordinamento totale).
Per certi versi l'equivalente dell'intervallo in $RR^2$ è proprio il cerchio e in $RR^3$ la sfera, tuttavia si potrebbero usare anche altre figure come basi di intorni, per esempio rettangoli. Infatti un rettangolo conterrà sempre un cerchio, e un cerchio conterrà sempre un rettangolo. Con lo stesso ragionamento è facile capire che si possono usare anche figure "strane", cioè che non sono note con un nome particolare.
"robbstark":
In $R^n$ non si parla di intervallo, forse volevi dire insieme. Infatti, in $RR^n$ si definisce un intorno di $c$ come un insieme contenente un aperto contenente $c$.[\quote] si scusami volevo dire insieme,
Esattamente, l'intervallo lo definisci come un insieme di numeri da $a$ a $b$ (con estremi che possono essere inclusi o esclusi).
In più dimensioni non è possibile ordinare i punti alla stessa maniera, cioè in modo tale che presi due punti puoi dire quale viene prima e quale dopo (tecnicamente non si può definire un ordinamento totale).
[...]Con lo stesso ragionamento è facile capire che si possono usare anche figure "strane", cioè che non sono note con un nome particolare.
Carina questa cosa dell'ordinamento totale,così non puoi dire che $a
Io ho da poco finito Fisica all'università e a questo livello ci siamo arrivati, ad analisi 2. Poi è chiaro che nella pratica si usano figure con contorni che si riescono a definire con oggetti semplici, tipo segmenti, archi di cerchio, di parabola, pezzi di altri grafici di funzioni, come del resto avviene anche a matematica. Comunque non ti sto suggerendo di approfondire ulteriormente ora, perchè è meglio andare con ordine e senza correre troppo avanti, altrimenti si rischia di confondersi. In matematica non è importante solo sapere le cose, ma arrivarci con un certo ragionamento. Per esempio, se anticipi teoremi avanzati senza saperli dimostrare, poi magari finisci per usarli per dimostrare altri teoremi, che in realtà vengono prima, il che non ha molto senso.
[off topic] P.s.: saga avvincente [/off topic]
[off topic] P.s.: saga avvincente [/off topic]
Beato te che hai finito ..io sto ancora al primo anno, in quanto all'approfondimento tranquillo,non ho tempo neanche per studiare il necessario 
,comunque hai ragione è inutile studiare roba per poi confondersi e neanche saperla dimostrare.Le cose si fanno un $dx$ alla volta.
Grazie ancora.
[OT]Libri appassionanti e interminabili per il l numero [\OT]
,comunque hai ragione è inutile studiare roba per poi confondersi e neanche saperla dimostrare.Le cose si fanno un $dx$ alla volta.Grazie ancora.
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