$\int\frac{tanx-1}{tan^2x-4tanx+3}"dx"$
Salve a tutti, come da titolo
$\int\frac{tanx-1}{tan^2x-4tanx+3}"dx"$
Il procedimento che sono stato costretto ad adottare si è rivelato lungo e dispendioso (in carta, inchiostro e tempo).
Fondamentalmente ho visto che
$\frac{tanx-1}{tan^2x-4tanx+3}=\frac{2}{tanx-3}-\frac{1}{tanx-1}$
dopodiché sostituzione
$tanx=y$ e l'integrale diventa
$\int\frac{2}{(y-3)(1+y^2)}-\frac{1}{(y-1)(1+y^2)}"dy"$
Poi altro spezzettamento per entrambe le frazioni, questa volta di sotto c'è un polinomio di terzo grado, quindi non è molto felice la cosa.
Io sospetto che ci sia una soluzione più rapida, e che non sto vedendo qualcosa.
D'altra parte era in una prova di 3 ore con altri esercizi dentro, non vedo il perchè di un esercizio che sfrutta sempre la stessa tecnica contosa e insidiosa per i calcoli (più sono, più errori si annidano).
Se a qualcuno viene un'idea, è ben accetta.
Grazie anticipatamente, a presto!
$\int\frac{tanx-1}{tan^2x-4tanx+3}"dx"$
Il procedimento che sono stato costretto ad adottare si è rivelato lungo e dispendioso (in carta, inchiostro e tempo).
Fondamentalmente ho visto che
$\frac{tanx-1}{tan^2x-4tanx+3}=\frac{2}{tanx-3}-\frac{1}{tanx-1}$
dopodiché sostituzione
$tanx=y$ e l'integrale diventa
$\int\frac{2}{(y-3)(1+y^2)}-\frac{1}{(y-1)(1+y^2)}"dy"$
Poi altro spezzettamento per entrambe le frazioni, questa volta di sotto c'è un polinomio di terzo grado, quindi non è molto felice la cosa.
Io sospetto che ci sia una soluzione più rapida, e che non sto vedendo qualcosa.
D'altra parte era in una prova di 3 ore con altri esercizi dentro, non vedo il perchè di un esercizio che sfrutta sempre la stessa tecnica contosa e insidiosa per i calcoli (più sono, più errori si annidano).
Se a qualcuno viene un'idea, è ben accetta.
Grazie anticipatamente, a presto!
Risposte
$(tg(x)-1)/(tg^2(x)-4tg(x)+3)=(tg(x)-1)/((tg(x)-3)*(tg(x)-1))=1/(tg(x)-3)
Non è lecito fare così?
Non è lecito fare così?
Certo che è lecito. Una volta fatto quello che ha fatto Enea (vecchia conoscenza ), poni $tanx = y$ e ottieni
$\int \frac{1}{(y-3)(y^2+1)} dy$, ora decomponi la frazione cercando a, b e c tali che
$1/((y-3)(y^2+1))= a/(y-3) + (by+c)/(y^2+1)\qquad \forall y \in RR\\{3}$
e il gioco è fatto: quando vai a integrare trovi logaritmi e arcotangenti...
Se proprio ci tieni a fare il preciso, "d" andrebbe in Roman e "x" in corsivo matematico...
), poni $tanx = y$ e ottieni$\int \frac{1}{(y-3)(y^2+1)} dy$, ora decomponi la frazione cercando a, b e c tali che
$1/((y-3)(y^2+1))= a/(y-3) + (by+c)/(y^2+1)\qquad \forall y \in RR\\{3}$
e il gioco è fatto: quando vai a integrare trovi logaritmi e arcotangenti...
"Steven":
"dx"
Se proprio ci tieni a fare il preciso, "d" andrebbe in Roman e "x" in corsivo matematico...
Chiedo scusa, ma ho commesso un errore nella trascrizione: il numeratore non è $tanx-1$ bensì $tanx+1$.
Scusatemi.
Grazie a fireball per l'estrema precisazione: sempre gradita
Scusatemi.
Grazie a fireball per l'estrema precisazione: sempre gradita
Beh, poco cambia, conviene sempre fare una decomposizione di quel tipo. L'integranda è $(y+1)/( (y-1)(y-3)(y^2+1) )$ .
In questo caso cerchi a, b, c e d reali tali che la somma seguente sia pari all'integranda per ogni y reale, tranne 1 e 3:
$a/(y-1) + b/(y-3) + (cx+d)/(y^2+1)$ .
In questo caso cerchi a, b, c e d reali tali che la somma seguente sia pari all'integranda per ogni y reale, tranne 1 e 3:
$a/(y-1) + b/(y-3) + (cx+d)/(y^2+1)$ .
Ok, quindi mi sembra che non ci siano altri modi se non questa via.
Grazie per le osservazioni, a presto.
Grazie per le osservazioni, a presto.
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