Intervallo prolungabilità soluzione equazione differenziale.
Buonasera, sono incappato in questo esercizio:
Risolvere l'equazione differenziale:
$ y'=-y/t+2ln(t)y^2 $
$ y(1)=1 $
-Una volta trovata la soluzione discuterne la prolungabilità.
-Stabilire per quali $ y_0 | y(1)=y_0 $ è compreso tra $ (0,\infty) $
Ora io sono arrivato al punto in cui dopo la sostituzione di $ z = 1/y $ risolvo l'equazione differenziale lineare trovando
$ y = 1/(t(c-ln^2(t))) , c = 1 $
Da quanto ho capito dalla teoria, essendo $y(t)=0$ soluzione banale dell'equazione differenziale ed essendoci l'unicità della soluzione per $t=1$ la soluzione del problema di Cauchy non può cambiare di segno.
Detto ciò la mia assunzione è che $ t\in(e,1/e) $
Tuttavia ho molti dubbi su questo mio risultato.
E non ho idea di come risolvere il secondo punto.
Il mio professore non è stato molto chiaro su questa parte del corso e trovo sempre difficile trovare un criterio generale per identificare l'intervallo di prolungabilità. Anche qui sul forum ho trovato solo dei thread che citavano il teorema della scatola(che non è nel programma).
Grazie in anticipo
Risolvere l'equazione differenziale:
$ y'=-y/t+2ln(t)y^2 $
$ y(1)=1 $
-Una volta trovata la soluzione discuterne la prolungabilità.
-Stabilire per quali $ y_0 | y(1)=y_0 $ è compreso tra $ (0,\infty) $
Ora io sono arrivato al punto in cui dopo la sostituzione di $ z = 1/y $ risolvo l'equazione differenziale lineare trovando
$ y = 1/(t(c-ln^2(t))) , c = 1 $
Da quanto ho capito dalla teoria, essendo $y(t)=0$ soluzione banale dell'equazione differenziale ed essendoci l'unicità della soluzione per $t=1$ la soluzione del problema di Cauchy non può cambiare di segno.
Detto ciò la mia assunzione è che $ t\in(e,1/e) $
Tuttavia ho molti dubbi su questo mio risultato.
E non ho idea di come risolvere il secondo punto.
Il mio professore non è stato molto chiaro su questa parte del corso e trovo sempre difficile trovare un criterio generale per identificare l'intervallo di prolungabilità. Anche qui sul forum ho trovato solo dei thread che citavano il teorema della scatola(che non è nel programma).
Grazie in anticipo
Risposte
Una volta che sei in regime di unicità locale e che hai un’espressione esplicita della soluzione, l’insieme massimale cui puoi prolungare la tua soluzione è il più grande intervallo che contiene il punto iniziale $t_0=1$ in cui la tua soluzione è definita.
Quindi se non erro in questo caso l'intervallo sarebbe definito dall'esistenza del logaritmo. Quindi $(0,\infty)$.
Per il secondo punto invece?
Per il secondo punto invece?
Non mi pare che la soluzione sia definita in $]0,+oo[$. Guarda bene.
Il secondo punto semplicemente non si capisce cosa voglia dire... Scrivi bene il testo.
Il secondo punto semplicemente non si capisce cosa voglia dire... Scrivi bene il testo.
Ok scusa, allora l'insieme di definizione della soluzione è $(0,1/e) uu (1/e,e) uu (e,\infty)$
Quindi l'intervallo massimale è $(1/e,e)$
Il secondo punto penso dica di trovare, se esiste $y_0 $ limitata tale che $ y(1)=y_0$.
Quindi una funzione limitata per $t_0 = 1$
Quindi l'intervallo massimale è $(1/e,e)$
Il secondo punto penso dica di trovare, se esiste $y_0 $ limitata tale che $ y(1)=y_0$.
Quindi una funzione limitata per $t_0 = 1$
Non ho chiesto tu come faresti, ma di correggere il testo dell’esercizio, giacché è insensato.
"gugo82":
Non ho chiesto tu come faresti, ma di correggere il testo dell’esercizio, giacché è insensato.
Ok sono riuscito ad avere l'esame. Il testo del secondo punto è:
Per quali valori di $y_0$ la soluzione del problema di Cauchy $y(1)=y_0$ è prolungabile all’intervallo $(0, ∞)$?
Beh, fatti due conti.
Al posto di imporre $y(1)=1$ dovrai imporre $y(1)=y_0$ e trovare l’espressione della soluzione; poi controllare se per qualche valore di $y_0$ il più grande intervallo del dominio che contiene $1$ coincide con $(0,+oo)$.
Fai attenzione, eventualmente, ai valori eccezionali di $y_0$, i.e. a quei possibili valori cui corrispondono soluzioni non ricavabili dall’integrale generale.
Al posto di imporre $y(1)=1$ dovrai imporre $y(1)=y_0$ e trovare l’espressione della soluzione; poi controllare se per qualche valore di $y_0$ il più grande intervallo del dominio che contiene $1$ coincide con $(0,+oo)$.
Fai attenzione, eventualmente, ai valori eccezionali di $y_0$, i.e. a quei possibili valori cui corrispondono soluzioni non ricavabili dall’integrale generale.
Ok grazie mille per l'aiuto. Avrei un altro dubbio.
Data $ y' = (2t)/(1+tan(t)^2)$
Mi viene chiesto di trovare la soluzione del problema di cauchy per $ y(1)=0 $
Trovo $ y= arctan(t^2-1) $
Il mio problema sta sempre nel trovare l'intervallo di prolungabilità:
- É tutto R in quanto la soluzione e definita per ogni t?
- Devo fare attenzione all'esistenza ed unicità della soluzione per quei punti in cui $y(t) = pi/2 + kpi$? In quanto per $y_0 = π/2 +kπ $ non è garantita ne l'esistenza ne l'unicità?
Data $ y' = (2t)/(1+tan(t)^2)$
Mi viene chiesto di trovare la soluzione del problema di cauchy per $ y(1)=0 $
Trovo $ y= arctan(t^2-1) $
Il mio problema sta sempre nel trovare l'intervallo di prolungabilità:
- É tutto R in quanto la soluzione e definita per ogni t?
- Devo fare attenzione all'esistenza ed unicità della soluzione per quei punti in cui $y(t) = pi/2 + kpi$? In quanto per $y_0 = π/2 +kπ $ non è garantita ne l'esistenza ne l'unicità?
Nessuno?
1. Il metodo è sempre lo stesso. Ovviamente, qui c’entra Il fatto che il secondo membro della EDO non è definito per alcuni valori di $t$, quindi la soluzione non può essere definita...
2. Perché?
2. Perché?
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